Question

（2013•樂山）如圖，已知拋物線C經過原點，對稱軸x=-3與拋物線相交于第三象限的點M，與x軸相交于點N，且tan∠MON=3．
（1）求拋物線C的解析式；
（2）將拋物線C繞原點O旋轉180°得到拋物線C′，拋物線C′與x軸的另一交點為A，B為拋物線C′上橫坐標為2的點．
①若P為線段AB上一動點，PD⊥y軸于點D，求△APD面積的最大值；
②過線段OA上的兩點E，F分別作x軸的垂線，交折線O-B-A于點E₁，F₁，再分別以線段EE₁，FF₁為邊作如圖2所示的等邊△EE₁E₂，等邊△FF₁F₂．點E以每秒1個單位長度的速度從點O向點A運動，點F以每秒1個單位長度的速度從點A向點O運動．當△EE₁E₂與△FF₁F₂的某一邊在同一直線上時，求時間t的值．

Answer 1

分析：（1）先根據tan∠MON=3求出頂點M的坐標，再利用待定系數法即可求出拋物線C的解析式；
（2）①先求出△APD的面積關于點P橫坐標的函數關系式，再應用配方法寫成頂點式，然后根據二次函數的性質即可求出最大值；
②分0＜t≤2，2＜t≤4和4＜t＜6三種情況討論，每種情況又分EE₁與FF₁在同一直線上，EE₂與F₁F₂在同一直線上和E₁E₂與FF₂在同一直線上三種情況討論．

解答：解：（1）∵對稱軸MN的解析式為x=-3，∴ON=3，
∵tan∠MON=3，∴MN=9，
∴M（-3，-9），
∴設拋物線C的解析式為y=a（x+3）²-9，
∵拋物線C經過原點，∴0=a（0+3）²-9，解得a=1，
∴拋物線C的解析式為y=（x+3）²-9，即y=x²+6x；

（2）①∵將拋物線C繞原點O旋轉180°得到拋物線C′，
∴拋物線C與拋物線C′關于原點O對稱，
∴拋物線C′的解析式為y=-x²+6x，
∵當y=0時，x=0或6，
∴點A的坐標為（6，0），
∵點B在拋物線C′上，且其橫坐標為2，
∴y=-2²+6×2=8，即點B的坐標為（2，8）．
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則

6k+b=0 2k+b=8

，
解得

k=-2 b=12

．
∴直線AB的解析式為y=-2x+12，
∵點P在線段AB上，
∴設點P的坐標為（p，-2p+12），
∴S_△APD=

1

2

p（-2p+12）=-p²+6p=-（p-3）²+9，
∴當p=3時，△APD面積的最大值為9；
②如圖，分別過點E₂、F₂作x軸的垂線，垂足分別為G、H．
根據（2）①知，直線OB解析式為y=4x，直線AB解析式為y=-2x+12．
當0＜t≤2時，E₁在OB上，F₁在AB上，
OE=t，EE₁=4t，EG=2

3

t，OG=t+2

3

t，GE₂=2t，
OF=6-t，FF₁=2t，HF=

3

t，OH=6-t-

3

t，HF₂=t，
∴E（t，0），E₁（t，4t），E₂（t+2

3

t，2t），
F（6-t，0），F₁（6-t，2t），F₂（6-t-

3

t，t）．
（Ⅰ）若EE₁與FF₁在同一直線上，由t=6-t，得t=3，不符合0＜t≤2；
（Ⅱ）若EE₂與F₁F₂在同一直線上，易求得直線EE₂的解析式為y=

3

3

x-

3

3

t，
將F₁（6-t，2t）代入，得2t=

3

3

×（6-t）-

3

3

t，
解得t=

3( 3 -1)

2

；
（Ⅲ）若E₁E₂與FF₂在同一直線上，易求得E₁E₂的解析式為y=-

3

3

x+4t+

3

3

t，
將F（6-t，0）代入，得0=-

3

3

×（6-t）+4t+

3

3

t，
解得t=

6 3 -3

11

；
當2＜t≤4時，E₁，F₁都在AB上，
OE=t，EE₁=12-2t，EG=6

3

-

3

t，OG=6

3

-

3

t+t，GE₂=6-t，
OF=6-t，FF₁=2t，HF=

3

t，OH=6-t-

3

t，HF₂=t，
∴E（t，0），E₁（t，12-2t），E₂（6

3

-

3

t+t，6-t），
F（6-t，0），F₁（6-t，2t），F₂（6-t-

3

t，t）．
（Ⅰ）若EE₁與FF₁在同一直線上，由t=6-t，得t=3；
（Ⅱ）若EE₂與F₁F₂在同一直線上，易求得直線EE₂的解析式為y=

3

3

x-

3

3

t，
將F₁（6-t，2t）代入，得2t=

3

3

×（6-t）-

3

3

t，
解得t=

3( 3 -1)

2

，不符合2＜t≤4；
（Ⅲ）E₁E₂與FF₂已在0＜t≤2時同一直線上，故當2＜t≤4時，E₁E₂與FF₂不可能在同一直線上；
當4＜t＜6時，由上面討論的結果，△EE₁E₂與△FF₁F₂的某一邊不可能在同一直線上．
綜上所述，當△EE₁E₂有一邊與△FF₁F₂的某一邊在同一直線上時，t的值為

3( 3 -1)

2

或

6 3 -3

11

或3．

點評：本題考查了二次函數的綜合題型，其中涉及到旋轉與平移的性質，運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，函數圖象上點的坐標與方程的關系，銳角三角函數的定義，二次函數的最值，等邊三角形的性質，三角形的面積求法等知識．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果，利用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．