Question

（2013•樂山）如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數y=

2

x

的圖象上，第二象限內的點B在反比例函數y=

k

x

的圖象上，且OA⊥OB，cosA=

3

3

，則k的值為（　�。�

• A．-3
• B．-4
• C．-

  3

• D．-2

  3

Answer 1

分析：過A作AE⊥x軸，過B作BF⊥x軸，由OA與OB垂直，再利用鄰補角定義得到一對角互余，再由直角三角形BOF中的兩銳角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，又一對直角相等，利用兩對對應角相等的三角形相似得到三角形BOF與三角形OEA相似，在直角三角形AOB中，由銳角三角函數定義，根據cos∠BAO的值，設出AB與OA，利用勾股定理表示出OB，求出OB與OA的比值，即為相似比，根據面積之比等于相似比的平方，求出兩三角形面積之比，由A在反比例函數y=

2

x

上，利用反比例函數比例系數的幾何意義求出三角形AOE的面積，進而確定出BOF的面積，再利用k的集合意義即可求出k的值．

解答：解：過A作AE⊥x軸，過B作BF⊥x軸，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOF+∠EOA=90°，
∵∠BOF+∠FBO=90°，
∴∠EOA=∠FBO，
∵∠BFO=∠OEA=90°，
∴△BFO∽△OEA，
在Rt△AOB中，cos∠BAO=

AO

AB

=

3

3

，
設AB=

3

，則OA=1，根據勾股定理得：BO=

2

，
∴OB：OA=

2

：1，
∴S_△BFO：S_△OEA=2：1，
∵A在反比例函數y=

2

x

上，
∴S_△OEA=1，
∴S_△BFO=2，
則k=-4．
故選B

點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，勾股定理，以及反比例函數k的幾何意義，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．