Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)H．

（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，當(dāng)∠ABP=∠CDB時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）以O(shè)B為邊最第四象限內(nèi)作等邊△OBM．設(shè)點(diǎn)E為x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OE＞OH），連接ME，把線段ME繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得MF，求線段DF的長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）P（2，﹣3）；（3）線段DF的長(zhǎng)的最小值存在，最小值是2+．

【解析】

試題分析：（1）令y=0，求得關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣3=0的解即為點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)；

（2）設(shè)P（x，x2﹣2x﹣3），根據(jù)拋物線解析式求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（1，﹣4）；結(jié)合坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得線段CD=，CB=3，BD=2；所以根據(jù)勾股定理的逆定理推知∠BCD=90°，則易推知相似三角形△BCD∽△PNB，由該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求x的值，易得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）正確做出等邊△OBM和線段ME所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)線段MF，如圖2．過(guò)點(diǎn)B，F(xiàn)作直線交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)G．構(gòu)建全等三角形：△EOM≌△FBM，由該全等三角形的性質(zhì)和圖形中相關(guān)角間的和差關(guān)系得到：

∠OBF=120°為定值，即BF所在直線為定直線．過(guò)D點(diǎn)作DK⊥BF，K為垂足線段DF的長(zhǎng)的最小值即為DK的長(zhǎng)度．

解：（1）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

（2）設(shè)P（x，x2﹣2x﹣3），

如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足為N．

連接BP，設(shè)∠NBP=∠CDB．

令x=0，得y=x2﹣2x﹣3=﹣3，

∴C（0，﹣3）

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4）．

由勾股定理，得CD=，CB=3，BD=2．

∴BD2=BC2+CD2，

∴∠BCD=90°．

∵∠BCD=∠PNB=90°，∠NBP=∠CDB．

∴△BCD∽△PNB．

∴=，

=，即x2﹣5x+6=0，

解得x1=2，x2=3（不合題意，舍去）．

∴當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣3

∴P（2，﹣3）；

（3）正確做出等邊△OBM和線段ME所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)線段MF，如圖2．

過(guò)點(diǎn)B，F(xiàn)作直線交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)G．

由題意可得：

，

∴△EOM≌△FBM，

∴∠MBF=∠MOB=60°．

∵∠OBF=∠OBM+∠MBF=60°+60°=120°為定值，

∴BF所在直線為定直線．

過(guò)D點(diǎn)作DK⊥BF，K為垂足．

在Rt△BGH中，∠HBG=180°﹣120°=60°，

∴∠HGB=30°．

∵HB=3，

∴BG=4，HG=2．

∵D（1，﹣4），

∴DH=4，

∴DG=2+4．

在Rt△DGK中，∠DGK=30°．

∴DK=DG=2+．

∵當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，這時(shí)BF=OH=1，

則GF=4+1=5．

而GK=DK=3+2＞5，即點(diǎn)K在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑上，

所以線段DF的長(zhǎng)的最小值存在，最小值是2+．