Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連結BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結論：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PHPC；④FE：BC＝，其中正確的個數為（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

由正方形的性質和相似三角形的判定與性質，即可得出結論．

解：∵△BPC是等邊三角形，

∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，

在正方形ABCD中，

∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°

∴∠ABE＝∠DCF＝30°，

∴BE＝2AE；故①正確；

∵PC＝CD，∠PCD＝30°，

∴∠PDC＝75°，

∴∠FDP＝15°，

∵∠DBA＝45°，

∴∠PBD＝15°，

∴∠FDP＝∠PBD，

∵∠DFP＝∠BPC＝60°，

∴△DFP∽△BPH；故②正確；

∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，

∴△DPH∽△CPD，

∴，

∴DP2＝PHPC，故③正確；

∵∠ABE＝30°，∠A＝90°

∴AE＝AB＝BC，

∵∠DCF＝30°，

∴DF＝DC＝BC，

∴EF＝AE+DF＝﹣BC，

∴FE：BC＝（2﹣3）：3

故④正確，

故選：D．