Question

【題目】已知線段AB，如果將線段AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AC，則稱點C為線段AB關于點A的逆轉點．點C為線段AB關于點A的逆轉點的示意圖如圖1：

（1）如圖2，在正方形ABCD中，點_____為線段BC關于點B的逆轉點；

（2）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（x，0），且x＞0，點E是y軸上一點，點F是線段EO關于點E的逆轉點，點G是線段EP關于點E的逆轉點，過逆轉點G，F的直線與x軸交于點H．

①補全圖；

②判斷過逆轉點G，F的直線與x軸的位置關系并證明；

③若點E的坐標為（0，5），連接PF、PG，設△PFG的面積為y，直接寫出y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A；（2）①補圖見解析；②GF⊥x軸；證明見解析；③y=．

【解析】

（1）根據點C為線段AB關于點A的逆轉點的定義判斷即可．

（2）①按題干定義補圖即可．

②結論：GF⊥x軸．證明△GEF≌△PEO（SAS），推出∠GFE＝∠EOP＝90°可得結論．

③分兩種情形：如圖4﹣1中，當0＜x＜5時，如圖4﹣2中，當x＞5時，分別利用三角形的面積公式求解即可．

解：（1）由題意，點A是線段AB關于點B的逆轉點，

故答案為A．

（2）①圖形如圖3所示．

②結論：GF⊥x軸．

理由：∵點F是線段EF關于點E的逆轉點，點G是線段EP關于點E的逆轉點，

∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，

∴∠GEF＝∠PEO，

∴△GEF≌△PEO（SAS），

∴∠GFE＝∠EOP，

∵OE⊥OP，

∴∠POE＝90°，

∴∠GFE＝90°，

∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，

∴四邊形EFHO是矩形，

∴∠FHO＝90°，

∴FG⊥x軸．

③如圖4﹣1中，當0＜x＜5時，

∵E（0，5），

∴OE＝5，

∵四邊形EFHO是矩形，EF＝EO，

∴四邊形EFHO是正方形，

∴OH＝OE＝5，

∴y＝FGPH＝x（5﹣x）＝﹣x2+x．

如圖4﹣2中，當x＞5時，

y＝FGPH＝x（x﹣5）＝x2﹣x．

綜上所述，y=．