Question

【題目】已知，如圖，△ABC是等邊三角形．

（1）如圖1，將線段AC繞點A逆時針旋轉90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交BD于點E，連接CE．

①求∠AED的度數；

②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數量關系（直接寫出結果）．

（2）如圖2，將線段AC繞點A順時針旋轉90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交DB的延長線于點E，連接CE．

①依題意補全圖2；

②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①45°，②；（2）①見解析，②，證明見解析

【解析】

（1）①證明∠AED＝∠D＝15°，∠BAE＝30°，再利用三角形的外角的性質即可解決問題．

②結論：．作CK⊥BC交BD于K，連接CD．證明BE＝EK，DK＝AE即可解決問題．

（2）①根據要求畫出圖形即可．

②結論：．過點A作AF⊥AE，交ED的延長線于點F（如圖3），利用全等三角形的性質以及等腰直角三角形的性質解決問題即可．

（1）解：①如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠BAC＝30°，

由旋轉可知：AD＝AC，∠CAD＝90°．

∴AB＝AD，∠BAD＝150°，

∴∠ABD＝∠D＝15°，

∴∠AED＝∠ABD+∠BAE＝45°．

②結論：．

理由：作CK⊥BC交BD于K，連接CD．

∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△AEB≌△AEC（SAS），

∴BE＝EC，∠AEB＝∠AEC＝135°，

∴∠BEC＝90°，

∴∠EBC＝∠ECB＝45°，

∵∠BCK＝90°，

∴∠CKB＝∠CBE＝45°，

∴CB＝CE，

∵CE⊥BK，

∴BE＝EK，

∵∠ADC＝45°，∠ADB＝15°，

∴∠CDK＝∠CAE＝30°，

∵∠CKD＝∠AEC＝135°，

∴△CDK∽△CAE，

∴＝＝，

∴DK＝AE，

∴BD＝BK+DK＝2BE+AE．

（2）解：①圖形如圖2所示：

②結論：．

理由：過點A作AF⊥AE，交ED的延長線于點F（如圖3）．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠1＝∠BAC＝30°，

由旋轉可知：AD＝AC，∠CAD＝90°，

∴AB＝AD，∠2＝∠CAD﹣∠BAC＝30°，

∴∠3＝∠4＝75°，

∴∠5＝∠4﹣∠1＝45°，

∵AF⊥AE，

∴∠F＝45°＝∠5，

∴AF＝AE，

∴EF＝AE，

∵∠6＝∠EAF﹣∠1﹣∠2＝30°，

∴∠6＝∠1＝30°，

又∵∠F＝∠5＝45°，AD＝AB，

∴△ADF≌△ABE（SAS），

∴DF＝BE，

∵AB＝AC，AE平分∠BAC，

∴AE垂直平分BC，

∴CE＝BE，

∵BD＝EF﹣DF﹣BE，

∴BD＝AE﹣2CE．