Question

（本題14分）如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動點P從點C出發沿CD方向向點D運動，動點Q同時以相同速度從點D出發沿DA方向向終點A運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.
（1）求AD的長；
（2）設CP=x， △PDQ的面積為y,求y關于x的函數表達式，并求自變量的取值范圍；
（3）探究：在BC邊上是否存在點M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請找出點M，并求出BM的長；不存在，請說明理由.
 

Answer 1

、解：（1）∵A、D關于點Q成中心對稱，HQ⊥AB，
∴=90°，HD=HA，
∴，…………………………………………………………………………2分
∴△DHQ∽△ABC．……………………………………………………………………1分
（2）①如圖1，當時，
ED=，QH=，
此時． …………………………………………2分
②如圖2，當時，
ED=，QH=，
此時． …………………………………………2分
∴y與x之間的函數解析式為（自變量取值寫對給1分）
（3）①如圖1，當時，
若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，
∴=，．……………………………………………………1分
顯然ED=EH，HD=HE不可能； ……………………………………………………1分
②如圖2，當時，
若DE=DH，=，；  …………………………………………1分
若HD=HE，此時點D，E分別與點B，A重合，； ………………………1分
若ED=EH，則△EDH∽△HDA，
∴，，．  ……………………………………2分
∴當x的值為時，△HDE是等腰三角形.
（其他解法相應給分）

略