Question

【題目】如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D為AB邊上一點，且AD=2，AC=BC=.

（1）證明：△ACE≌△BCD；

（2）求四邊形ADCE的面積；

（3）求ED的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）9；（3）

【解析】

（1）根據△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，可得：CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB=90°，再根據等式的基本性質即可得出：∠ACE=∠BCD，利用SAS即可證出△ACE≌△BCD；

（2）根據（1）中全等，四邊形ADCE的面積=△ACE的面積＋△ACD的面積=△BCD的面積＋△ACD的面積=△ACB的面積，故計算出△ACB的面積即可；

（3）根據勾股定理即可算出AB的長，從而計算出BD的長，再根據（1）的△ACE≌△BCD即可得EA=BD，∠EAC=∠DBC=45°，從而得到∠EAD=90°，最后根據勾股定理即可算出ED的長.

解：（1）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形

∴CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB=90°

∴∠ECD－∠ACD=∠ACB－∠ACD

∴∠ACE=∠BCD

在△ACE和△BCD中

∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）∵△ACE≌△BCD

∴S△ACE=S△BCD

∴S四邊形ADCE =S△ACE＋S△ACD =S△BCD＋S△ACD =S△ACB

∵AC=BC=

∴S△ACB=

∴S四邊形ADCE =9

（3）根據勾股定理：

∴BD=AB－AD=4

∵△ACE≌△BCD

∴EA=BD=4，∠EAC=∠DBC

∵△ACB是等腰直角三角形

∴∠BAC=∠DBC=45°

∴∠EAD=∠EAC＋∠BAC=∠DBC＋∠BAC=90°

在Rt△EAD中

根據勾股定理：