Question

【題目】y＝﹣2x+4直線交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y＝﹣（x﹣m）（x﹣6）（m＞0）經過點A，交x軸于另一點C，如圖所示．

（1）求拋物線的解析式．

（2）設拋物線的頂點為D，連接BD，AD，CD，動點P在BD上以每秒2個單位長度的速度由點B向點D運動，同時動點Q在線段CA上以每秒3個單位長度的速度由點C向點A運動，當其中一個點到達終點停止運動時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．PQ交線段AD于點E．

①當∠DPE＝∠CAD時，求t的值；

②過點E作EM⊥BD，垂足為點M，過點P作PN⊥BD交線段AB或AD于點N，當PN＝EM時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+8x﹣12；（2）① ；②t的值為1﹣或

【解析】

（1）先由直線解析式求得點A、B的坐標，將點A坐標代入拋物線解析式可求出m的值，從而得出答案；

（2）①由（1）可求得AD＝CD＝2，繼而得∠DAC＝∠DCA，由BD∥AC可得∠DPE＝∠PQA，再結合已知∠DPE＝∠DAC，可證明四邊形PDQC是平行四邊形，∴PD＝QC

于是得出關于t的方程4﹣2t＝3t，解方程即可；

②分點N在AB上和點N在AD上兩種情況進行討論求解. 當點N在AB上時，先用t表示出PN＝2BP＝4t＝ME，再依次表示出DE＝，AE＝2﹣2t，再由BD∥OC得，代入即得，解出方程即可（注意取舍）；點N在AD上時，先證明點E、N重合，得PQ⊥BD，于是BP＝OQ，由此可得關于t的方程，解出即得結果.

解：（1）當x＝0時，y＝4，

∴點B坐標（0，4）

當y＝0時，x＝2

∴點A（2，0）

∵拋物線y＝﹣（x﹣m）（x﹣6）（m＞0）經過點A，

∴0＝﹣（2﹣m）（2﹣6）

∴m1＝2，m2＝0（不合題意舍去）

∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+8x﹣12

（2）①∵拋物線解析式為：y＝﹣x2+8x﹣12＝﹣（x﹣4）2+4，

∴頂點D（4，4）

∵點B坐標（0，4）

∴BD∥OC，BD＝4，

∵y＝﹣x2+8x﹣12與x軸交于點A，點C

∴點C（6，0），點A（2，0）

∴AC＝4

∵點D（4，4），點C（6，0），點A（2，0）

∴AD＝CD＝2，

∴∠DAC＝∠DCA

∵BD∥AC

∴∠DPE＝∠PQA，

且∠DPE＝∠DAC

∴∠PQA＝∠DAC

∴∠PQA＝∠DCA

∴PQ∥DC，且BD∥AC

∴四邊形PDQC是平行四邊形

∴PD＝QC

∴4﹣2t＝3t

∴t＝

②如圖，若點N在AB上時，即0≤t≤1

∵BD∥OC

∴∠DBA＝∠OAB，

∵點B坐標（0，4），A（2，0），點D（4，4）

∴AB＝AD＝2，OA＝2，OB＝4

∴∠ABD＝∠ADB，

∴tan∠OAB＝＝tan∠DBA＝

∴PN＝2BP＝4t，

∴ME＝PN＝4t，

∵tan∠ADB＝tan∠ABD＝＝2

∴MD＝2t

∴DE＝

∴AE＝AD﹣DE＝2﹣2t

∵BD∥OC

∴

∴

∴5t2﹣10t+4＝0

∴t1＝1+（不合題意舍去），t2＝1﹣

如圖，若點N在AD上，即1＜t

∵PN＝EM，

∴點E、N重合，此時PQ⊥BD，

∴BP＝OQ，

∴2t＝6﹣3t，

解得：t＝，

綜上所述：當PN＝EM時，t的值為1﹣或．