Question

【題目】已知:在平面直角坐標系中,直線分別交、軸于點A、B兩點,OA=5,∠OAB=60°.

(1)如圖1,求直線AB的解析式；

(2)如圖2,點P為直線AB上一點，連接OP,點D在OA延長線上，分別過點P、D作OA、OP的平行線,兩平行線交于點C，連接AC,設AD=m,△ABC的面積為S,求S與m的函數關系式;

(3)如圖3,在(2)的條件下,在PA上取點E ,使PE=AD, 連接EC,DE,若∠ECD=60°,四邊形ADCE的周長等于22，求S的值.

Answer 1

【答案】(1)直線解析式為；(2)S=；(3).

【解析】

(1)先求出點B坐標，設AB解析式為，把點A(5，0)，B(0，)分別代入，利用待定系數法進行求解即可；

(2)由題意可得四邊形ODCP是平行四邊形，∠OAB=∠APC=60°，則有PC=OD=5+m，∠PCH=30°，過點C作CH⊥AB，在Rt△PCH中 利用勾股定理可求得CH=，再由S=ABCH代入相關數據進行整理即可得；

(3) 先求得∠PEC=∠ADC，設∠OPA=，則∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+，在BA延長線上截取AK=AD，連接OK，DK，DE，證明△ADK是等邊三角形，繼而證明△PEC≌△DKO，通過推導可得到OP=OK=CE=CD，再證明△CDE是等邊三角形，可得CE=CD=DE，連接OE，證明△OPE≌△EDA，繼而可得△OAE是等邊三角形，得到OA=AE=5 ，根據四邊形ADCE的周長等于22，可得ED=，過點E作EN⊥OD于點N，則DN=，由勾股定理得， 可得關于m的方程，解方程求得m的值后即可求得答案.

(1)在Rt△ABO中OA=5，∠OAB=60°，

∴∠OBA=30°，AB=10 ，

由勾股定理可得OB=，

∴B(0，)，

設AB解析式為，把點A(5，0)，B(0，)分別代入，得，

∴，

∴直線解析式為；

(2)∵CP//OD，OP//CD，

∴四邊形ODCP是平行四邊形，∠OAB=∠APC=60°，

∴PC=OD=5+m，∠PCH=30°，

過點C作CH⊥AB，在Rt△PCH中 PH=，由勾股定理得CH=，

∴S=ABCH=；

(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°，

∴∠EAD+∠ECD=180°，∠CEA+∠ADC=180°，

∴∠PEC=∠ADC，

設∠OPA=，則∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+，

在BA延長線上截取AK=AD，連接OK，DK，DE，

∵∠DAK=60°，

∴△ADK是等邊三角形，

∴AD=DK=PE，∠ODK=∠APC，

∵PC=OD，

∴△PEC≌△DKO，

∴OK=CE，∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+， ∠AKD= ∠APC=60° ，

∴∠OPK= ∠OKB，

∴OP=OK=CE=CD，

又∵∠ECD=60°，

∴△CDE是等邊三角形，

∴CE=CD=DE，

連接OE，∵ ∠ADE=∠APO，DE=CD=OP，

∴△OPE≌△EDA，

∴AE=OE， ∠OAE=60°，

∴△OAE是等邊三角形，

∴OA=AE=5 ，

∵四邊形ADCE的周長等于22，

∴AD+2DE=17，

∴ED=，

過點E作EN⊥OD于點N，則DN=，

由勾股定理得，

即，

解得，(舍去)，

∴S==20.