Question

【題目】如圖 1，在平面直角坐標系中，點 O 是坐標原點，四邊形 ABCO 是菱形，點 A 的坐標為（－3，4），點 C 在 x 軸的正半軸上，直線 AC 交 y 軸于點 M，AB 邊交 y 軸于點 H．

（1）求直線 AC 的解析式；

（2）連接 BM，如圖 2，動點 P 從點 A 出發，沿折線 ABC 方向以 2 個單位／秒的速度向終點 C 勻速運動，設△PMB 的面積為 S（S≠0），點 P 的運動時間為 t 秒，求 S 與 t 之間的函數關系式（要求寫出自變量 t 的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，當 t 為何值時，∠MPB 與∠BCO 互為余角，并求此時直線 OP 與直線 AC 所夾銳角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當t＝時，∠MPB與∠BCO互為余角，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為；當t＝時，∠MPB與∠BCO互為余角，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為1．

【解析】

（1）已知A點的坐標，就可以求出OA的長，根據OA＝OC，就可以得到C點的坐標，根據待定系數法就可以求出函數解析式；

（2）點P的位置應分P在AB和BC上兩種情況進行討論：當P在AB上時，S＝BPMH；當P在BC上時，S＝P1BBM，據此面積就可以表示出來；

（3）分兩種情況進行討論，當P點在AB邊上運動時：設OP與AC相交于點Q連接OB交AC于點K，證明△AQP∽△CQO，根據相似三角形的對應邊的比相等，以及勾股定理可以求出AQ，QC的長，在直角△OHB中，根據勾股定理，可以得到tan∠OQC．當P點在BC邊上運動時，可證△BHM∽△PBM和△PQC∽△OQA，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出OK，KQ就可以求出．

解：（1）過點A作AE⊥x軸垂足為E，如圖（1），

∵A（3，4），

∴AE＝4 ，OE＝3，

∴OA＝＝5，

∵四邊形ABCO為菱形，

∴OC＝OA＝5，

∴C（5，0）

設直線AC的解析式為：y＝kx＋b(k≠0)，

∴，解得：，

∴直線AC的解析式為：；

（2）由（1）得M點坐標為（0，），

∴OM＝，

如圖（1），當P點在AB邊上運動時，

由題意得OH＝4，

∴HM＝OHOM＝4=，

∴S＝BPMH＝（52t）·=t+（0≤t＜），

當P點在BC邊上運動時，記為P1，

∵∠OCM＝∠BCM，CO＝CB，CM＝CM，

∴△OMC≌△BMC，

∴OM＝BM＝，∠MOC＝∠MBC＝90°，

∴S＝P1BBM＝（2t5）·=t（＜t≤5），

綜上所述： ；

（3）設OP與AC相交于點Q連接OB交AC于點K，

∵∠AOC＝∠ABC，

∴∠AOM＝∠ABM，

∵∠MPB＋∠BCO＝90°，∠BAO＝∠BCO，∠BAO＋∠AOH＝90°，

∴∠MPB＝∠AOH，

∴∠MPB＝∠MBH．

當P點在AB邊上運動時，如圖（2），

∵∠MPB＝∠MBH，

∴PM＝BM，

∵MH⊥PB，

∴PH＝HB＝2，

∴PA＝AHPH＝1，

∴t＝，

∵AB∥OC，

∴∠PAQ＝∠OCQ，

∵∠AQP＝∠CQO，

∴△AQP∽△CQO，

∴，

在Rt△AEC中，AC＝，

∴AQ＝，QC＝，

在Rt△OHB中，OB＝，

∵AC⊥OB，OK＝KB，AK＝CK，

∴OK＝，AK＝KC＝，

∴QK＝AKAQ＝，

∴tan∠OQC＝；

當P點在BC邊上運動時，如圖（3），

∵∠BHM＝∠PBM＝90°，∠MPB＝∠MBH，

∴tan∠MPB＝tan∠MBH，

∴，即，

∴BP＝，

∴t＝，

∴PC＝BCBP＝5＝．

由PC∥OA，同理可證△PQC∽△OQA，

∴，

∴CQ＝AC＝，

∴QK＝KCCQ＝，

∵OK＝，

∴tan∠OQK＝，

綜上所述，當t＝時，∠MPB與∠BCO互為余角，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為；當t＝時，∠MPB與∠BCO互為余角，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為1．

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