Question

【題目】尺規(guī)作圖1：

已知：如圖，線段AB和直線且點B在直線上

求作：點C，使點C在直線上并且使為等腰三角形．

作圖要求：保留作圖痕跡，不寫作法，做出所有符合條件的點C．

特例思考：

如圖一，當時，符合中條件的點C有______個；如圖二，當時，符合中條件的點C有______個

拓展應用：

如圖，，點M，N在射線OA上，，，點P是射線OB上的點若使點P，M，N構成等腰三角形的點P有且只有三個，求x的值．

Answer 1

【答案】(1) 見解析；(2) 2，2 ；(3)0或或.

【解析】

根據等腰三角形的定義，用分類討論的思想解決問題即可；

通過畫圖分析可得，當時，符合中條件的點C有2個，當時，符合中條件的點C有2個；

分三種情形討論求解即可．

解：如圖1中，點，，，即為所求．

如圖一，當時，符合中條件的點C有2個；如圖二，當時，符合中條件的點C有2個，

當∠1=90°或∠1=60°時，符合條件的點C都是在點B左右各一個，當∠1=60°時，符合條件的點C如圖所示：

故答案為2，2．

如圖中，當時，當時，有點，當時，有點，當時，有點，此時有3個P點．

如圖中，當與OB相切于點時，

是等腰直角三角形，

，

，此時有3個P點．

如圖中，當經過點O時，此時只有2個P點，

如圖中，與OB相交時，此時有3個P點，

如圖中，當與OB相切時，只有2個P點．

此時，

綜上所述，當時，有3個P點．

滿足條件的x的值為0或或．