Question

【題目】如圖1，菱形紙片，對其進行如下操作：

把翻折，使得點與點重，折痕為；把翻折，使得點與點重合，折痕為 (如圖2)，連結．設兩條折痕的延長線交于點．

(1)請在圖2中將圖形補充完整，并求的度數；

(2)四邊形是菱形嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析，；（2）四邊形是菱形，理由見解析

【解析】

（1）由菱形的性質可得AD=CD，∠A=∠C=45°，∠ADC=135°，由折疊的性質可得AE=DE=AD，GE⊥AD，∠A=∠GDA=45°，DF=FC=CD，HF⊥CD，∠C=∠CDH=45°，由四邊形的內角和定理可求解；

（2）由題意可證GE∥DH，GD∥HF，可證四邊形DGOH是平行四邊形，由“ASA”可證△DEG≌△DFH，可得DG=DH，即可證四邊形DGOH是菱形．

解：（1）如圖，延長EG，FH交于點O，

∵四邊形ABCD是菱形，∠A=45°，

∴AD=CD，∠A=∠C=45°，∠ADC=135°，

∵把△AEG翻折，使得點A與點D重合，折痕為EG；把△CFH翻折，使得點C與點D重合，折痕為FH，

∴AE=DE=AD，GE⊥AD，∠A=∠GDA=45°，DF=FC=CD，HF⊥CD，∠C=∠CDH=45°，

∵∠EOF+∠OED+∠OFD+∠ADC=360°，

∴∠EOF=360°-90°-90°-135°=45°；

（2）四邊形是菱形．理由如下：

∵∠ADC=135°，∠ADG=∠CDH=45°，

∴∠GDC=∠ADH=90°，且GE⊥AD，HF⊥CD，

∴GE∥DH，GD∥HF，

∴四邊形DGOH是平行四邊形，

∵AE=DE=AD，DF=FC=CD，AD=CD，

∴DE=DF，且∠ADG=∠CDH=45°，∠DEG=∠DFH=90°，

∴△DEG≌△DFH（ASA）

∴DG=DH，

∴四邊形DGOH是菱形．