Question

【題目】如圖，四邊形OBCD中的三個頂點在⊙O上，點A是⊙O上的一個動點（不與點B、C、D重合）．

（1）若點A在優弧上，且圓心O在∠BAD的內部，已知∠BOD=120°，則∠OBA+∠ODA= °．

（2）若四邊形OBCD為平行四邊形．

①當圓心O在∠BAD的內部時，求∠OBA+∠ODA的度數；

②當圓心O在∠BAD的外部時，請畫出圖形并直接寫出∠OBA與∠ODA的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）①60°；②∠OBA=∠ODA+60°．

【解析】

試題（1）連接BD，首先圓周角定理，求出∠BAD的度數是多少；然后根據三角形的內角和定理，求出∠0BD、∠ODB的度數和是多少；最后在△ABD中，用180°減去∠BAD、∠0BD、∠ODB的度數和，求出∠OBA+∠ODA等于多少即可．

（2）①首先根據四邊形OBCD為平行四邊形，可得∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC；然后根據∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD=∠B0D，求出∠B0D的度數，進而求出∠BAD的度數；最后根據平行四邊形的性質，求出∠OBC、∠ODC的度數，再根據∠ABC+∠ADC=180°，求出∠OBA+∠ODA等于多少即可．

②首先根據四邊形OBCD為平行四邊形，可得∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC；然后根據∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD=∠B0D，求出∠B0D的度數，進而求出∠BAD的度數；最后根據OA=OD，OA=OB，判斷出∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，進而判斷出∠OBA=∠ODA+60°即可．

試題解析：解：（1）如圖1，連接BD，

∵∠BOD=120°，

∴∠BAD=120°÷2=60°，

∴∠0BD+∠ODB=180°﹣∠BOD=180°﹣120°=60°，

∴∠OBA+∠ODA=180°﹣（∠0BD+∠ODB）﹣∠BAD=180°﹣60°﹣60°=120°﹣60°=60°．

故答案為：60；

（2）①如圖2，

∵四邊形OBCD為平行四邊形，

∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD=∠B0D，

∴∠B0D+∠B0D=180°，

∴∠B0D=120°，∠BAD=120°÷2=60°，

∴∠OBC=∠ODC=180°﹣120°=60°，

又∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠OBA+∠ODA=180°﹣（∠OBC+∠ODC）=180°﹣（60°+60°）=180°﹣120°=60°；

②如圖3，

∵四邊形OBCD為平行四邊形，

∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD=∠B0D，

∴∠B0D+∠B0D=180°，

∴∠B0D=120°，∠BAD=120°÷2=60°，

∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠OAD+60°，

∵OA=OD，OA=OB，

∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，

∴∠OBA=∠ODA+60°．