Question

【題目】工人師傅用一塊長(zhǎng)為12分米，寬為8分米的矩形鐵皮制作一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器，需要將四角各裁掉一個(gè)正方形．（厚度不計(jì)）

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出裁剪示意圖，用實(shí)線(xiàn)表示裁剪線(xiàn)，虛線(xiàn)表示折痕；并求當(dāng)長(zhǎng)方體底面面積為32平方分米時(shí)，裁掉的正方形邊長(zhǎng)是多少？

（2）若要求制作的長(zhǎng)方體的底面長(zhǎng)不大于底面寬的5倍（長(zhǎng)大于寬），并將容器外表面進(jìn)行防銹處理，側(cè)面每平方分米的費(fèi)用為0.5元，底面每平方分米的費(fèi)用為2元，求裁掉的正方形邊長(zhǎng)為多少時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為多少元？

Answer 1

【答案】（1）裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為2分米，底面積為32平方分米；（2）裁掉的正方形邊長(zhǎng)為3.5分米時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為31元．

【解析】

（1）由題意可畫(huà)出圖形，設(shè)裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為x分米，則題意可列出方程，可求得答案；

（2）由條件可求得x的取值范圍，用x表示出總費(fèi)用，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最小值，可求得答案．

（1）如圖所示：

設(shè)裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為x分米，由題意可得：

（12﹣2x）（8﹣2x）＝32，即x2﹣10x+16＝0，解得：x＝2或x＝8（舍去）．

答：裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為2分米，底面積為32平方分米；

（2）設(shè)總費(fèi)用為y元，則y＝2（12﹣2x）（8﹣2x）+0.5×[2x（12﹣2x）+2x（8﹣2x）]

＝4x2﹣60x+192

＝4（x﹣7.5）2﹣33．

又∵12﹣2x≤5（8﹣2x），∴x≤3.5．

∵a＝4＞0，∴當(dāng)x＜7.5時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝3.5時(shí)，y取得最小值，最小值為31．

答：裁掉的正方形邊長(zhǎng)為3.5分米時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為31元．