Question

如圖，△ABC和△ABD都是⊙O的內接三角形，圓心O在邊AB上，邊AD分別與BC，OC交于E，F兩點，點C為的中點．

（1）求證：OF∥BD；
（2）若，且⊙O的半徑R=6cm．①求證：點F為線段OC的中點； ②求圖中陰影部分（弓形）的面積．

Answer 1

（1）證明見解析（2）①證明見解析②cm²

（1）證明：∵OC為半徑，點C為的中點，∴OC⊥AD。
∵AB為直徑，∴∠BDA=90°，BD⊥AD。∴OF∥BD。
（2）①證明：∵點O為AB的中點，點F為AD的中點，∴OF=BD。
∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE。
∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD，
∴，∴FC=BD。
∴FC=FO，即點F為線段OC的中點。
②解：∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，
又∵AO=CO，∴△AOC為等邊三角形。
∴根據銳角三角函數定義，得△AOC的高為。
∴（cm²）。
答：圖中陰影部分（弓形）的面積為cm²。
（1）由垂徑定理可知OC⊥AD，由圓周角定理可知BD⊥AD，從而證明OF∥BD。
（2）①由OF∥BD可證△ECF∽△EBD，利用相似比證明BD=2CF，再證OF為△ABD的中位線，得出BD=2OF，即CF=OF，證明點F為線段OC的中點；
②根據S_陰=S_扇形AOC﹣S_△AOC，求面積。