Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接OC，如果OC恰好經過弦BD的中點E，且tanC=，AD=3，求直徑AB的長．

Answer 1

【考點】切線的判定．

【專題】證明題．

【分析】（1）由AB為⊙O的直徑，可得∠D=90°，繼而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，則可證得BC是⊙O的切線；

（2）根據點O是AB的中點，點E時BD的中點可知OE是△ABD的中位線，故AD∥OE，則∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出結論．

【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠D=90°，

∴∠ABD+∠A=90°，

∵∠DBC=∠A，

∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）∵點O是AB的中點，點E時BD的中點，

∴OE是△ABD的中位線，

∴AD∥OE，

∴∠A=∠BOC．、

∵由（1）∠D=∠OBC=90°，

∴∠C=∠ABD，

∵tanC=，

∴tan∠ABD===，解得BD=6，

∴AB===3．

【點評】本題考查的是切線的判定，熟知經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解答此題的關鍵．