Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°AO是△ABC的角平分線．以O為圓心，OC為半徑作⊙O．

（1）求證：AB是⊙O的切線．
（2）已知AO角⊙O于點E，延長AO交⊙O于點D，tanD= ，求 的值．
（3）在（2）的條件下，設⊙O的半徑為3，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過點O作OF⊥AB于點F，

∵AO平分∠CAB，

OC⊥AC，OF⊥AB，

∴OC=OF，

∴AE是⊙O的切線；

（2）解：連接CE，

∵ED是⊙O的直徑，

∴∠ECD=90°，

∴∠ECO+∠OCD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠ECO=90°，

∴∠ACE=∠ODC，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∴∠ACE=∠ODC，

∵∠CAE=∠CAE，

∴△ACE∽△ADC，

∴ ，

∵tan∠D= ，

∴ = ，

∴ = ；

（3）解：由（2）可知： = ，

∴設AE=x，AC=2x，

∵△ACE∽△ADC，

∴ ，

∴AC2=AEAD，

∴（2x）2=x（x+6），

解得：x=2或x=0（不合題意，舍去），

∴AE=2，AC=4，

由（1）可知：AC=AF=4，

∠OFB=∠ACB=90°，

∵∠B=∠B，

∴△OFB∽△ABC，

∴ ，

設BF=a，

∴BC= ，

∴BO=BC﹣OC= ﹣3，

在Rt△BOF中，

BO2=OF2+BF2，

∴（ ﹣3）2=32+a2，

∴解得：a= 或a=0（不合題意，舍去），

∴AB=AF+BF= ．

【解析】本題考查圓的綜合問題，解題的關鍵是證明△ACE∽△ADC．本題涉及勾股定理，解方程，圓的切線判定知識，內容比較綜合，需要學生構造輔助線才能解決問題，對學生綜合能力要求較高．（1）由于題目沒有說明直線AB與⊙O有交點，所以過點O作OF⊥AB于點F，然后證明OC=OF即可；（2）連接CE，先求證∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以 ，而tan∠D= = ；（3）由（2）可知，AC2=AEAD，所以可求出AE和AC的長度，由（1）可知，△OFB∽△ABC，所以 ，然后利用勾股定理即可求得AB的長度．