Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AC為對角線，∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，點M為AC的中點，動點E從點C出發以每秒1個單位的速度運動到點B停止，連接EM并延長交AD于點F，設點E的運動時間為t秒．

(1)求四邊形ABCD的面積；

(2)當∠EMC=90°時，判斷四邊形DCEF的形狀，并說明理由；

(3)連接BM，點E在運動過程中是否能使△BEM為等腰三角形?如果能，求出t；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）16（2）菱形，理由見解析（3）t＝5.2或t＝82時，△BEM為等腰三角形

【解析】

（1）利用直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求得平行四邊形的定和高，再利用底乘以高計算面積；

（2）結合∠EMC＝90°以及平行四邊形的性質，可證明四邊形DCEF是平行四邊形，再通過計算得到平行四邊形CDFE的一組鄰邊相等即可證得結論；

（3）探究△BEM為等腰三角形，要分三種情況進行討論：EB＝EM，EB＝BM，EM＝BM．通過相應的計算表示出BE，EM，BM，然后利用邊相等建立方程進行求解．

（1）∵∠DAC＝30°，∠ACD＝90°，AD＝8，

∴CD＝4，AC＝=4．

又∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴四邊形ABCD的面積為4×4＝16．

（2）如圖1，當∠EMC＝90°時，四邊形DCEF是菱形．

∵∠EMC＝∠ACD＝90°，

∴DC∥EF．

∵BC∥AD，

∴四邊形DCEF是平行四邊形，∠BCA＝∠DAC．

由（1）可知：CD＝4，AC＝4．

∵點M為AC的中點，

∴CM＝2．

在Rt△EMC中，∠CME＝90°，∠BCA＝30°．

∴CE＝2ME，可得ME2＋（2）2＝（2ME）2，

解得：ME＝2．

∴CE＝2ME＝4．

∴CE＝DC．

又∵四邊形DCEF是平行四邊形，

∴四邊形DCEF是菱形．

（3）點E在運動過程中能使△BEM為等腰三角形．

理由：如圖2，過點B作BG⊥AD與點G，過點E作EH⊥AD于點H，連接DM．

∵DC∥AB，∠ACD＝90°，

∴∠CAB＝90°．

∴∠BAG＝180°30°90°＝60°．

∴∠ABG＝30°．

∴AG＝AB＝2，BG＝=2．

∵點E的運動速度為每秒1個單位，運動時間為t秒，

∴CE＝t，BE＝8t．

在△CEM和△AFM中

，

∴△CEM≌△AFM．

∴ME＝MF，CE＝AF＝t．

∴HF＝HGAFAG＝BEAFAG＝8t2t＝62t．

∵EH＝BG＝2，

∴在Rt△EHF中，ME＝EF＝＝．

∵M為平行四邊形ABCD對角線AC的中點，

∴D，M，B共線，且DM＝BM．

∵在Rt△DBG中，DG＝AD＋AG＝10，BG＝2，

∴BD=

故BM＝×4＝2．

要使△BEM為等腰三角形，應分以下三種情況：

當EB＝EM時，有(8t)2＝ [12＋(62t)2]，

解得：t＝5.2．

當EB＝BM時，有8t＝2，

解得：t＝82．

當EM＝BM時，由題意可知點E與點B重合，此時點B、E、M不構成三角形．

綜上所述，當t＝5.2或t＝82時，△BEM為等腰三角形．