Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2x+2的圖象與x軸交于A，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0），（其中a＞0），直線(xiàn)l過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（0，m）（0＜m＜2），且與x軸平行，并與直線(xiàn)AC、BC分別相交于點(diǎn)D、E，P點(diǎn)在y軸上（P點(diǎn)異于C點(diǎn)）滿(mǎn)足PE=CE，直線(xiàn)PD與x軸交于點(diǎn)Q，連接PA．

（1）寫(xiě)出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜m＜1時(shí)，若△PAQ是以P為頂點(diǎn)的倍邊三角形（注：若△HNK滿(mǎn)足HN=2HK，則稱(chēng)△HNK為以H為頂點(diǎn)的倍邊三角形），求出m的值；
（3）當(dāng)1＜m＜2時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使CDAQ=PQDE？若能，求出m的值（用含a的代數(shù)式表示）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在直線(xiàn)解析式y(tǒng)=2x+2中，當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣1；當(dāng)x=0時(shí)，

y=2，

∴A（﹣1，0），C（0，2）

（2）

解：當(dāng)0＜m＜1時(shí)，依題意畫(huà)出圖形，如答圖1所示．

∵PE=CE，∴直線(xiàn)l是線(xiàn)段PC的垂直平分線(xiàn)，

∴MC=MP，又C（0，2），M（0，m），

∴P（0，2m﹣2）；

直線(xiàn)l與y=2x+2交于點(diǎn)D，令y=m，則x= ，∴D（ ，m），

設(shè)直線(xiàn)DP的解析式為y=kx+b，則有

，解得：k=﹣2，b=2m﹣2，

∴直線(xiàn)DP的解析式為：y=﹣2x+2m﹣2．

令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）．

已知△PAQ是以P為頂點(diǎn)的倍邊三角形，由圖可知，PA=2PQ，

∴ ，即 ，

整理得：（m﹣1）2= ，解得：m= （ ＞1，不合題意，舍去）或m= ，

∴m=

（3）

解：當(dāng)1＜m＜2時(shí)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使CDAQ=PQDE．

依題意畫(huà)出圖形，如答圖2所示．

由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2，

由勾股定理得：PQ= （m﹣1）；

∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0），

∴AQ=m，AB=a+1；

∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA= ．

∵直線(xiàn)l∥x軸，∴△CDE∽△CAB，

∴ ；

又∵CDAQ=PQDE，∴ ，

∴ ，即 ，

解得：m= ．

∵1＜m＜2，

∴當(dāng)0＜a≤1時(shí)，m≥2，m不存在；當(dāng)a＞1時(shí)，m= ．

∴當(dāng)1＜m＜2時(shí)，若a＞1，則存在實(shí)數(shù)m= ，使CDAQ=PQDE；若0＜a≤1，則m不存在．

【解析】（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解；（2）如答圖1所示，解題關(guān)鍵是求出點(diǎn)P、點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后利用PA=2PQ，列方程求解；（3）如答圖2所示，利用相似三角形，將已知的比例式轉(zhuǎn)化為： ，據(jù)此列方程求出m的值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小；一次函數(shù)是直線(xiàn)，圖像經(jīng)過(guò)仨象限；正比例函數(shù)更簡(jiǎn)單,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)一直線(xiàn)；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與軸來(lái)相見(jiàn),k為正來(lái)右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來(lái)左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對(duì)值越大,線(xiàn)離橫軸就越遠(yuǎn)即可以解答此題．