Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，以BC為直徑的⊙O交AC于點D，過點D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E、F．

（1）求證：ED是⊙O的切線；

（2）若DF=3，cosA=，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）⊙O的直徑為．

【解析】

試題分析：（1）連結OD、BD，先根據圓周角定理得到∠BDC=90°，再根據等腰三角形的性質得到AD=CD，則可判斷OD為△ABC的中位線，所以OD∥AB，加上DE⊥AB，則DE⊥OD，然后根據切線的判定定理得ED是⊙O的切線；

（2）根據等腰三角形的性質由AB=AC得到∠A=∠C，在Rt△CFD中利用余弦定理得到cosC==cosA=，則可設CF=2x，CD=3x，利用勾股定理得到DF=x，所以x=3，解得x=3，于是計算出CD=9，然后在Rt△BCD中利用余弦的定義計算出BC的長即可．

試題解析：（1）連結OD、BD，∵BC為直徑，∴∠BDC=90°，∴BD⊥AC，

而BA=BC，∴AD=CD，而OB=OC，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴ED是⊙O的切線；

（2）∵AB=AC，∴∠A=∠C，在Rt△CFD中，cosC==cosA=，

設CF=2x，CD=3x，

∴DF==x，∴x=3，解得x=3，∴CD=9，

在Rt△BCD中，∵cosC==，∴BC=×9=，

即⊙O的直徑為．