Question

【題目】（本題滿分8分）如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F，點E是DB延長線上一點，

∠EAB=∠ADB.

（1）求證：EA是⊙O的切線；

（2）已知點B是EF的中點，求證：以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似；

（3）在（2）的條件下，已知AF=4，CF=2，求AE的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AE=4

【解析】試題分析：（1）連接CD，根據直徑所對的圓周角為直角得出∠ADB+∠EDC=90°，根據同弧所對的圓周角相等得出∠BAC=∠EDC，然后結合已知條件得出∠EAB+∠BAC=90°，從而說明切線；（2）連接BC，根據直徑的性質得出∠ABC=90°，根據B是EF的中點得出AB=EF，即∠BAC=∠AFE，則得出三角形相似；（3）根據三角形相似得出，根據AF和CF的長度得出AC的長度，然后根據EF=2AB代入求出AB和EF的長度，最后根據Rt△AEF的勾股定理求出AE的長度．

試題解析：（1）證明：如答圖1，連接CD， ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°．

∴∠ADB+∠EDC=90°．

∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB， ∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°．∴EA是⊙O的切線．

（2）證明：如答圖2，連接BC， ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°．∴∠CBA=∠ABC=90°．

∵B是EF的中點，∴在Rt△EAF中，AB=BF． ∴∠BAC=∠AFE． ∴△EAF∽△CBA．

（3）∵△EAF∽△CBA，∴． ∵AF=4，CF=2， ∴AC=6，EF=2AB．

∴，解得AB=2．∴EF=4．

∴AE=．