Question

8．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，動點M從點B出發，在邊BA上以2cm/s的速度向點A勻速運動，同時動點N從點C出發，在邊CB上以$\sqrt{3}$cm/s的速度向點B勻速運動，設運動時間為t s（0≤t≤5），連接MN．
（1）若BM=BN，求t值．
（2）若△MBN和△ABC相似，求t的值．
（3）當t為何值時，四邊形ACNM的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得出AB=10，BC=5$\sqrt{3}$．由題意知：BM=2t，CN=$\sqrt{3}$t，BN=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，由BM=BN得出方程2t=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，解方程即可；
（2）分兩種情況：①當△MBN∽△ABC時，由相似三角形的對應邊成比例得出比例式，即可得出t的值；②當△NBM∽△ABC時，由相似三角形的對應邊成比例得出比例式，即可得出t的值；
（3）過M作MD⊥BC于點D，則MD∥AC，證出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四邊形ACNM的面積y=△ABC的面積-△BMN的面積，得出y是t的二次函數，由二次函數的性質即可得出結果．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=10，BC=5$\sqrt{3}$．     
由題意知：BM=2t，CN=$\sqrt{3}$t，
∴BN=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∵BM=BN，
∴2t=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
解得：t=10$\sqrt{3}$-15；

（2）分兩種情況：①當△MBN∽△ABC時，
$\frac{MB}{AB}$=$\frac{BN}{BC}$，即$\frac{2t}{10}$=$\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{5\sqrt{3}}$，
解得：t=$\frac{5}{2}$；
②當△NBM∽△ABC時，
$\frac{NB}{AB}$=$\frac{BM}{BC}$，即$\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{10}$=$\frac{2t}{5\sqrt{3}}$，
解得：t=$\frac{15}{7}$．
綜上所述：當t=$\frac{5}{2}$或t=$\frac{15}{7}$時，△MBN與△ABC相似；

（3）如圖所示，過M作MD⊥BC于點D，則MD∥AC，
∴△BMD∽△BAC，
∴$\frac{MD}{AC}$=$\frac{BM}{AB}$，即$\frac{MD}{5}$=$\frac{2t}{10}$，
解得：MD=t．
設四邊形ACNM的面積為y，則
y=$\frac{1}{2}$×5×5$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）×t=$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$-$\frac{5}{2}\sqrt{3}$t+$\frac{25}{2}\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{75}{8}$$\sqrt{3}$，
∴根據二次函數的性質可知，當t=$\frac{5}{2}$時，y的值最小，
此時y_min=$\frac{75}{8}\sqrt{3}$．

點評 本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質、三角形面積的計算的綜合應用．證明三角形相似是解決問題的關鍵，解題時注意分類思想的運用．在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用．