Question

【題目】若任意一個代數式，在給定的范圍內求得的最值恰好也在該范圍內，則稱這個代數式是這個范圍的“友好代數式”．例如：關于的代數式，當時，代數式在時有最大值，最大值為1；在時有最小值，最小值為0，此時最值1，0均在（含端點）這個范圍內，則稱代數式是的“友好代數式”．

（1）若關于的代數式，當時，取得的最大值為________；最小值為________；代數式________（填“是”或“不是”）的“友好代數式”；

（2）以下關于的代數式，是的“友好代數式”的是________；

①；②；③；

（3）若關于的代數式是的“友好代數式”，則的值是________；

（4）若關于的代數式是的“友好代數式”，求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）3，0，不是 （2）② （3） （4）的最大值為4和最小值為0．

【解析】

（1）求出代數式的最大值和最小值，再根據友好代數式的定義進行判斷即可；

（2）根據友好代數式的定義對各代數式進行求解即可；

（3）分三種情況進行求解：①；②；③，即可求出m的值；

（4）分三種情況進行求解：①；②；③，解得，即可求出的最大值和最小值．

（1）∵

∴當時，有最大值，最大值為3；當時，有最小值，最小值為0

∴，

故代數式不是的“友好代數式”．

（2）①∵當時，有最大值，最大值為3；當時，有最小值，最小值為-1，

∴，

∴不是的“友好代數式”．

②∵當時，有最大值，最大值為2；當時，有最小值，最小值為-2，

∴，

∴是的“友好代數式”．

③∵當時，有最大值，最大值為2；當時，有最小值，最小值為-4，

∴，

∴不是的“友好代數式”．

故是的“友好代數式”的是②．

（3）∵關于的代數式是的“友好代數式”

∴分以下三種情況進行討論：

①

∴當時，有最大值，最大值為4；當時，有最小值，最小值為，

∴

∴不成立

②

∴，

∴

解得

∴當成立

③

∴當時，有最大值，最大值為；當時，有最小值，最小值為-4，

∵

∴不成立

故的值是．

（4）∵關于的代數式是的“友好代數式”

∴分以下三種情況進行討論

①

當時，有最大值，最大值為；當時，有最小值，最小值為，

∴

解得

②

∵

∴時成立

③

當時，有最大值，最大值為；當時，有最小值，最小值為，

∴

無解

∴

∴的最大值為4和最小值為0．