Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=x2+2x﹣3與x軸相交于A，B兩點，與y軸交于點C，D為頂點．

（1）求直線AC的解析式和頂點D的坐標；

（2）已知E（0， ），點P是直線AC下方的拋物線上一動點，作PR⊥AC于點R，當PR最大時，有一條長為的線段MN（點M在點N的左側）在直線BE上移動，首尾順次連接A、M、N、P構成四邊形AMNP，請求出四邊形AMNP的周長最小時點N的坐標；

（3）如圖2，過點D作DF∥y軸交直線AC于點F，連接AD，Q點是線段AD上一動點，將△DFQ沿直線FQ折疊至△D1FQ，是否存在點Q使得△D1FQ與△AFQ重疊部分的圖形是直角三角形？若存在，請求出AQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，點D坐標（﹣1，﹣4）；（2）N（0， ）；（3）AQ的長為1+或或．

【解析】試題分析：（1）分別令x=0，y=0，可得A、B、C三點坐標，利用待定系數法設直線AC的解析式為y=kx+b，轉化為解方程組即可．

（2）如圖1中，設P（m，m2+2m-3），由題意，當PR最大時，△ACP的面積最大，即四邊形APCO的面積最大，因為S四邊形APCO=S△AOP+S△POC-S△AOC=×3×（-m2-2m+3）+×3×（-m）-×3×3=-m2-m=-（m+）2+，所以當m=-時，四邊形APCO的面積最大，即PR最長，可得P（-，-），將點P沿BE方向平移個單位得到G（-，-），作點A關于直線BE的對稱點K，連接GK交BE于M，此時四邊形APNM的最長最小，想辦法求出點M的坐標即可解決問題．

（3）分三種情形討論即可①如圖2中，當FD1⊥AD時，重疊部分是Rt△FKQ．②如圖3中，當FQ⊥AD時，重疊部分是Rt△FQD1，③如圖4中，當QD1⊥AC時，重疊部分是Rt△QMF．分別求出AQ即可．

試題解析：（1）對于拋物線y=x2+2x﹣3，令y=0，得x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或1，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

令x=0，得y=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∵拋物線y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴頂點D坐標為（﹣1，﹣4），

設直線AC的解析式為y=kx+b，則有，解得，

∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，點D坐標（﹣1，﹣4）．

（2）如圖1中，設P（m，m2+2m﹣3），

由題意，當PR最大時，△ACP的面積最大，即四邊形APCO的面積最大，

∵S四邊形APCO=S△AOP+S△POC﹣S△AOC=×3×（-m2-2m+3）+×3×（-m）-×3×3=-m2-m=-（m+）2+，

∴當m=﹣時，四邊形APCO的面積最大，即PR最長，

∴P（﹣，﹣），

將點P沿BE方向平移個單位得到G（﹣，﹣），作點A關于直線BE的對稱點K，連接GK交BE于M，此時四邊形APNM的最長最小，

∵直線BE的解析式為y=﹣x+，直線AK的解析式為y=2x+6，

由解得，

∴J（﹣， ），

∵AJ=JK，

∴k（﹣， ），

∴直線KG的解析式為y=x+，

由解得，

∴M（﹣2， ），將點M向下平移1個單位，向右平移2個單位得到N，

∴N（0， ）．

（3）存在．

①如圖2中，當FD1⊥AD時，重疊部分是Rt△FKQ，作QM⊥DF于M．

由題意可知F（﹣1，﹣2），DF=2，AF=2，AC=3，AD=2

由△AKF∽△ACD，得，

∴

∴FK=，AK=，

∴DK=，設QK=QM=x，

在Rt△QMD中，x2+（2﹣）2=（﹣x）2，

∴x=1﹣，

∴AQ=AK+KQ=1+

②如圖3中，當FQ⊥AD時，重疊部分是Rt△FQD1，此時AQ=．

③如圖4中，當QD1⊥AC時，重疊部分是Rt△QMF．

設QM=QK=x，在Rt△AQM中，x2+（2﹣）2=（﹣x）2，

∴x=

∴AQ=AK﹣QK=﹣（）=．

綜上所述，當△D1FQ與△AFQ重疊部分的圖形是直角三角形時，AQ的長為1+或或．