Question

【題目】如圖，拋物線y＝－x 2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，已知經過B、C兩點的直線的表達式為y＝－x＋3．

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）點P(m，0)是線段OB上的一個動點，過點P作y軸的平行線，交直線BC于D，交拋物線于E，EF∥x軸，交直線BC于F，DG∥x軸，FG∥y軸，DG與FG交于點G．設四邊形DEFG的面積為S，當m為何值時S最大，最大值是多少？
（3）在坐標平面內是否存在點Q，將△OAC繞點Q逆時針旋轉90°，使得旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線上．若存在，求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在y＝－x＋3中，令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y＝3，

∴B（3，0），C（0，3）

∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經過B、C兩點

∴

解得

∴拋物線的函數表達式為y＝－x2＋2x＋3

（2）解：∵P（m，0），PD∥y軸交直線BC于D，交拋物線于E

∴D（m，－m＋3），E（m，－m2＋2m＋3）

∴DE＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m＝－(m－ )2＋

∴當m＝ 時，DE有最大值 ，

由題意可知四邊形DEFG為矩形

∵OB＝OC＝3，

∴∠DBP＝∠BDP＝∠EDF＝∠EFD＝45°

∴DE＝EF∴四邊形DEFG為正方形

∴S＝DE2

∴當m＝ 時，S有最大值 ；

（3）解：如圖所示，

有兩種情況：

①當點A′、C′落在拋物線上時

由O′A′＝OA＝1，O′C′＝OC＝3

設A′（a，－a2＋2a＋3），則C′（a－3，－a2＋2a＋4）

∴－a2＋2a＋4＝－(a－3)2＋2(a－3)＋3

解得a＝ ，∴A′（ ， ）

作QN⊥x軸于N，A′M⊥QN于M，連接QA、QA′

則∠AQA′＝90°，可證△QAN≌△A′QM

設Q（x，y），則QM＝AN＝x＋1

A′M＝QN＝y＝x＋1＋ ＝ －x

解得x＝ ，y＝

∴Q1（ ， ）

②當點O′、C′落在拋物線上時

則O′、C′兩點關于拋物線的對稱軸對稱，易知拋物線的對稱軸為直線x＝1，

由O′C′＝OC＝3，可知C′（－ ， ），

作QN⊥O′C′于N，CM⊥QN于M，連接QC、QC′

則∠CQC′＝90°，

可證△CQM≌△QC′N，

設Q（x，y），則QM＝C′N＝x＋

CM＝QN＝y－ ＝x＝3－(x＋ )－

解得x＝ ，y＝

∴Q2（ ， ）

綜上所述，存在符合條件的點Q，點Q的坐標為（ ， ）或（ ， ）

【解析】（1） 根據直線BC的解析式求出點B、C的坐標，再將點B、C的坐標代入二次函數解析式求出b、c的值，即可得出拋物線的函數解析式。
（2）設點P的坐標為（m，0），根據PD∥y軸，點D和點E分別在直線BC上和拋物線上，因此可表示出點D、E的坐標，再求出DE與m的函數解析式，求出其頂點坐標，得出DE取最大值時m的值，再根據矩形的性質及點B、C的坐標，得出OB＝OC、DE＝EF，就可證明四邊形DEFG為正方形，根據正方形的面積公式，求出s的最大值即可。
（3）此題分兩種情況：①當點A′、C′落在拋物線上時，根據旋轉的性質 得出O′A′＝OA＝1，O′C′＝OC＝3，設點A′，表示出C′的坐標，根據x=a－3時，y=－a2＋2a＋4，建立方程求解即可表示出Q1的坐標；②當點O′、C′落在拋物線上時，則O′、C′兩點關于拋物線的對稱軸對稱，易知拋物線的對稱軸為直線x＝1，得出C′的坐標，作QN⊥O′C′于N，CM⊥QN于M，連接QC、QC′，證明△CQM≌△QC′N，根據CM＝QN建立方程，從而得到Q2的坐標，得出結論即可。
【考點精析】利用二次函數的最值和旋轉的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．