Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，函數（m為常數，m＞1，x＞0）的圖象經過點P（m，1）和Q（1，m），直線PQ與x軸，y軸分別交于C，D兩點.

（1）求∠OCD的度數；

（2）如圖2，連接OQ、OP，當∠DOQ=∠OCD-∠POC時，求此時m的值；

（3）如圖3，點A，點B分別在x軸和y軸正半軸上的動點.再以OA、OB為鄰邊作矩形OAMB.若點M恰好在函數（m為常數，m＞1，x＞0）的圖象上，且四邊形BAPQ為平行四邊形，求此時OA、OB的長度.

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）；（3）

【解析】

（1）由點坐標可得點D、C的坐標，可得OC，OD的長，證明為等腰直角三角形，所以∠OCD的度數為45°；（2）因為，所以，即∠QOP=45°，由勾股定理得，，，解得；（3）由四邊形ABPQ為平行四邊形，可得，即，所以OA=OB，設OA=OB=n，則M為（n，n）代入，得，所以，根據AB=PQ列式得，，由①②得，，即當OA=OB=時，符合題意；

解：

（2）∵，

∴，

∴，

易得，

∴，

解得；

（3）∵四邊形ABPQ為平行四邊形，

∴，

∴，

∴OA=OB，

設OA=OB=n，

則M為（n，n）代入，

∴，

∴，

又AB=PQ，

∴，

由①②得，；

∴當OA=OB=時，符合題意；