Question

【題目】對于線段外一點和這條線段兩個端點連線所構成的角叫做這個點關于這條線段的視角．如圖1，對于線段AB及線段AB外一點C，我們稱∠ACB為點C關于線段AB的視角．

如圖2，點Q在直線l上運動，當點Q關于線段AB的視角最大時，則稱這個最大的“視角”為直線l關于線段AB的“視角”．

（1）如圖3，在平面直角坐標系中，A（0，4），B（2，2），點C坐標為（﹣2，2），點C關于線段AB的視角為　 　度，x軸關于線段AB的視角為　 　度；

（2）如圖4，點M是在x軸上，坐標為（2，0），過點M作線段EF⊥x軸，且EM＝MF＝1，當直線y＝kx（k≠0）關于線段EF的視角為90°，求k的值；

（3）如圖5，在平面直角坐標系中，P（，2），Q（+1，1），直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的夾角為60°，且關于線段PQ的視角為45°，求這條直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）45，45；（2）k＝；（3）y＝x+﹣2

【解析】

（1）如圖3，連接AC，則∠ABC=45°；設M是x軸的動點，當點M運動到點O時，∠AOB=45°，該視角最大，即可求解；
（2）如圖4，以點M為圓心，長度1為半徑作圓M，當圓與直線y=kx相切時，直線y=kx（k≠0）關于線段EF的視角為90°，即∠EQF=90°，則MQ⊥直線OE，OQ=1，OM=2，故直線的傾斜角為30°，即可求解；
（3）直線PQ的傾斜角為45°，分別作點Q、P作x軸、y軸的平行線交于點R，RQ=RP=1，以點R為圓心以長度1為半徑作圓R，由（1）知，設直線與圓交于點Q′，由（1）知，當PQ′Q為等腰三角形時，視角為45°，則QQ=2RQ=2，故點Q′（-1，1），即可求解．

（1）如圖3，連接AC，則∠ABC＝45°；

設M是x軸的動點，當點M運動到點O時，∠AOB＝45°，該視角最大，

由此可見：當△ABC為等腰三角形時，視角最大；

故答案為：45，45；

（2）如圖4，以點M為圓心，長度1為半徑作圓M，

當圓與直線y＝kx相切時，直線y＝kx（k≠0）關于線段EF的視角為90°，即∠EQF＝90°，則MQ⊥直線OE，MQ＝1，OM＝2，故直線的傾斜角為30°，故k＝；

（3）直線PQ的傾斜角為45°，分別作點Q、P作x軸、y軸的平行線交于點R，RQ＝RP＝1，以點R為圓心以長度1為半徑作圓R，

由（1）知，設直線與圓交于點Q′，由（1）知，當PQ′Q為等腰三角形時，視角為45°，

則QQ＝2RQ＝2，故點Q′（﹣1，1），

直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的夾角為60°，則直線的表達式為：y＝x+b，

將點Q′的坐標代入上式并解得：

直線的表達式為：y＝x+﹣2