Question

如圖所示，在△ABC中，PG為BC邊的垂直平分線．且∠PBC=

1

2

∠A，BP的延長線交AC于點D，CP的延長線交AB于點E．求證：BE=CD．

Answer 1

證明：證明：作BF⊥CE于F點，CM⊥BD于M點，
則∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分線，
∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，

∠PFB=∠PMC ∠BPF=∠CPM PB=PC

，
∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM；
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=

1

2

∠BPE．
∵∠PBC=

1

2

∠A，
∴∠A=∠BPE．
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°，
∴∠AEP+∠ADP=180°．
又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDM=180°，
∴∠BEF=∠CDM．
在△BEF和△CDM中，

∠BEF=∠CDM ∠BFE=∠CMD BF=CM

，
∴△BEF≌△CDM（AAS）．
∴BE=CD．