Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，C在x軸的正半軸上，已知A（0，8）、C（10，0），作∠AOC的平分線交AB于點D，連接CD，過點D作DE⊥CD交OA于點E．

（1）求點D的坐標；

（2）求證：△ADE≌△BCD；

（3）拋物線y＝x2﹣x+8經過點A、C，連接AC．探索：若點P是x軸下方拋物線上一動點，過點P作平行于y軸的直線交AC于點M．是否存在點P，使線段MP的長度有最大值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（8，8）；（2）詳見解析；（3）存在，P點坐標為（5，﹣6）．

【解析】

（1）利用角平分線的性質以及矩形的性質得出∠ADO＝∠DOC，以及∠AOD＝∠ADO，進而得出答案；

（2）利用全等三角形的判定方法（ASA）即可得出答案；

（3）設P點坐標為（t， t2﹣t+8），設AC所在的直線的函數關系式為y＝kx+b，根據A（0，8）、C（10，0），求出AC的解析式，進而用t表示出PM的長，利用二次函數的性質求出PM的最值，點P的坐標也可以求出．

解：（1）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠DOC．

∵四邊形AOCB是矩形，

∴AB∥OC

∴∠AOD＝∠DOC

∴∠AOD＝∠ADO．

∴OA＝AD（等角對等邊）．

∵A點的坐標為（0，8），

∴D點的坐標為（8，8）

（2）∵四邊形AOCB是矩形，

∴∠OAB＝∠B＝90°，BC＝OA．

∵OA＝AD，

∴AD＝BC．

∵ED⊥DC

∴∠EDC＝90°

∴∠ADE+∠BDC＝90°

∴∠BDC+∠BCD＝90°．

∴∠ADE＝∠BCD．

在△ADE和△BCD中，

∵∠DAE＝∠B，AD＝BC，∠ADE＝∠BCD，

∴△ADE≌△BCD（ASA）

（3）存在，

∵二次函數的解析式為：，點P是拋物線上的一動點，

∴設P點坐標為（t， t2﹣t+8）

設AC所在的直線的函數關系式為y＝kx+b，

∵A（0，8）、C（10，0），

∴ ，解得

∴直線AC的解析式y=-．

∵PM∥y軸，

∴M（t，-）．

∴PM＝﹣（　 t2﹣t+8）+（-）＝- (t-5)2+10．

∴當t＝5時，PM有最大值為10．

∴所求的P點坐標為（5，﹣6）．