Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠DAB=60°，E、F分別是AD、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE+CF=2．連接BD．
（1）圖中有幾對(duì)三角三全等？試選取一對(duì)全等的三角形給予證明；
（2）判斷△BEF的形狀，并說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)△BEF的面積取得最小值時(shí)，試判斷此時(shí)EF與BD的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可判斷出AE=DF，DE=CF，從而結(jié)合菱形的性質(zhì)即可得出全等三角形的對(duì)數(shù)，選擇一對(duì)進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)（1）可得出BE=BF，∠EBF=60°，繼而可判定△BEF為正三角形．
（3）設(shè)BE=BF=EF=x，則可表示出△BEF的面積與x的關(guān)系，可得出此時(shí)EF與BD的位置關(guān)系．

解答：解：（1）△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三對(duì)；
證明：△BDE≌△BCF．
在△BDE和△BCF中，

BD=BC ∠C=∠BDE DE=CF

，
故△BDE≌△BCF．

（2）△BEF為正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF為正三角形；

（3）設(shè)BE=BF=EF=x，
則S_△BEF=

1

2

•x•x•sin60°=

3

4

x²，
當(dāng)BE⊥AD時(shí)，x_最小=2×sin60°=

3

，此時(shí)△BEF的面積最小，
此時(shí)點(diǎn)E、F分別位于AD、CD的中點(diǎn)，
故此時(shí)BD垂直平分EF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)，綜合考查了正三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，解答最后一問(wèn)關(guān)鍵是判斷點(diǎn)E及點(diǎn)F的位置．