Question

如圖，已知菱形ABCD邊長為6

3

，∠ABC=120°，點P在線段BC延長線上，半徑為r₁的圓O₁與DC、CP、DP分別相切于點H、F、N，半徑為r₂的圓O₂與PD延長線、CB延長線和BD分別相切于點M、E、G．
（1）求菱形的面積；
（2）求證：EF=MN；
（3）求r₁+r₂的值．

Answer 1

分析：（1）由于菱形ABCD邊長為6

3

，∠ABC=120°，根據菱形的性質得到ADC和△DBC都是等邊三角形，利用等邊三角形的面積等于邊長平方的

3

4

倍即可得到菱形的面積=2S_△DBC=2×

3

4

×（6

3

）²=54

3

；
（2）由于PM與PE都是⊙O₁的切線，PN與PF都是⊙O₂的切線，根據切線長定理得到PM=PN，PN=PE，則PM-PN=PE-PB，即EF=MN；
（3）由于BE與BG都是⊙O₁的切線，根據切線的性質和切線長定理得到BE=BG，∠O₂BE=∠O₂BG，O₂E⊥BE，而∠EBG=180°-∠DBC=180°-60°=120°，于是有∠O₂BE=60°，∠EO₂B=30°，根據含30°的直角三角形三邊的關系得到BE=

3

3

O₂E=

3

3

r₂，則BG=

3

3

r₂，DM=DG=6

3

-

3

3

r₂，同理可得CF=

3

3

r₁，DN=DH=6

3

-

3

3

r₁，則MN=DM+DN=12

3

-

3

3

（r₁+r₂），而EF=EB+BC+CF=

3

3

r₂+6

3

+

3

3

r₁=6

3

+

3

3

（r₁+r₂），利用EF=MN可得到關于（r₁+r₂）的方程，解方程即可．

解答：（1）解：∵菱形ABCD邊長為6

3

，∠ABC=120°，
∴△ADC和△DBC都是等邊三角形，
∴菱形的面積=2S_△DBC=2×

3

4

×（6

3

）²=54

3

；

（2）證明：∵PM與PE都是⊙O₂的切線，
∴PM=PE，
又∵PN與PF都是⊙O₁的切線，
∴PN=PF，
∴PM-PN=PE-PB，即EF=MN；

（3）解：∵BE與BG都是⊙O₂的切線，
∴BE=BG，∠O₂BE=∠O₂BG，O₂E⊥BE，
而∠EBG=180°-∠DBC=180°-60°=120°，
∴∠O₂BE=60°，∠EO₂B=30°，
∴BE=

3

3

O₂E=

3

3

r₂，
∴BG=

3

3

r₂，
∴DM=DG=6

3

-

3

3

r₂，
同理可得CF=

3

3

r₁，DN=DH=6

3

-

3

3

r₁，
∴MN=DM+DN=12

3

-

3

3

（r₁+r₂），
∵EF=EB+BC+CF=

3

3

r₂+6

3

+

3

3

r₁=6

3

+

3

3

（r₁+r₂），
而EF=MN，
∴6

3

+

3

3

（r₁+r₂）=12

3

-

3

3

（r₁+r₂），
∴r₁+r₂=9．

點評：本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點的半徑；從圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等，并且這個點與圓心的連線平分兩切線的夾角；掌握菱形的性質，記住等邊三角形的面積等于邊長平方的

3

4

倍以及含30°的直角三角形三邊的關系．