Question

【題目】如圖（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．點 P 在線段 AB 上以 1的速度由點 A 向點 B 運動，同時，點 Q 在線段 BD 上由點 B 向點 D 運動．它們運動的時間為 （s）．

（1）若點 Q 的運動速度與點 P 的運動速度相等，當＝1 時，△ACP 與△BPQ 是否全等，請說明理由， 并判斷此時線段 PC 和線段 PQ 的位置關系；

（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設點 Q 的運動速度為，是否存在實數，使得△ACP 與△BPQ 全等？若存在，求出相應的、的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）全等，垂直，理由詳見解析；（2）存在，或

【解析】

（1）在t =1的條件下，找出條件判定△ACP和△BPQ全等，再根據全等三角形的性質和直角三角形的兩個銳角互余的性質，可證∠CPQ= 90°，即可判斷線段 PC 和線段 PQ 的位置關系;
（2）本題主要在動點的條件下，分情況討論，利用三角形全等時對應邊相等的性質進行解答即可.

(1)當t=1時，AP= BQ=1, BP= AC=3,

又∠A=∠B= 90°，

在△ACP和△BPQ中，

∴△ACP≌△BPQ(SAS).

∴∠ACP=∠BPQ ,

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.

∴∠CPQ= 90°，

即線段PC與線段PQ垂直；

(2)①若△ACP≌△BPQ，

則AC= BP，AP= BQ，

解得;

②若△ACP≌△BQP，

則AC= BQ，AP= BP，

解得：

綜上所述,存在或使得△ACP與△BPQ全等.