Question

【題目】小華用兩塊不全等的等腰直角三角形的三角板擺放圖形．

（1）如圖①所示兩個(gè)等腰直角△ABC，△DBE，兩直角邊交于點(diǎn)F，連接BF、AD，求證：BF＝AD；

（2）如果小華將兩塊三角板△ABC，△DBE如圖②所示擺放，使D、B、C三點(diǎn)在一條直線上，AC、DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥BC，交直線AE于點(diǎn)G，連接AD，F(xiàn)B，求證：FG=AC+DC；

（3）在（2）的條件下，若AG=7，DC=5，將一個(gè)45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)B重合，并繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，這個(gè)角的兩邊分別交線段FG于P、Q兩點(diǎn)（如圖③），若PG=2，求線段FQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、證明過程見解析；(3)、.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)△ABC，△DBE是等腰直角三角形得到△CDF也是等腰直角三角形，則CD=CF，根據(jù)∠BCF=∠ACD=90°，AC=BC得到△BCF≌△ACD，從而得到BF=AD；(2)、根據(jù)△ABC、△BDE是等腰直角三角形得出∠ABC=∠BAC=∠BDE=45°即FG∥CD，∠G=45°，則AF=FG，根據(jù)CD⊥CF，∠CDF=45°得出CD=CF，則得出答案；(3)、過點(diǎn)B作BH⊥FG垂足為H，過點(diǎn)P作PK⊥AG于點(diǎn)K，根據(jù)FG∥BC，C、D、B在一條直線上得出△AFG和△DCF為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得出AF、FG和FD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)題意求出△BQH和△BPK相似，然后求出FQ的長(zhǎng)度.

試題解析：(1)、∵△ABC，△DBE是等腰直角三角形， ∴△CDF也是等腰直角三角形；

∴CD=CF， 又∵∠BCF=∠ACD=90°，AC=BC ∴△BCF≌△ACD， ∴BF=AD；

(2)、∵△ABC、△BDE是等腰直角三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠BDE=45°，∵FG∥CD， ∴∠G=45°，

∴AF=FG； ∵CD⊥CF，∠CDF=45°， ∴CD=CF， ∵AF=AC+CF， ∴AF=AC+DC． ∴FG=AC+DC．

(3)、過點(diǎn)B作BH⊥FG垂足為H，過點(diǎn)P作PK⊥AG于點(diǎn)K，

∵FG∥BC，C、D、B在一條直線上， 可證△AFG、△DCF是等腰直角三角形， ∵AG=，CD=5，

∴根據(jù)勾股定理得：AF=FG=7，F(xiàn)D=， ∴AC=BC=2， ∴BD=3； ∵BH⊥FG，

∴BH∥CF，∠BHF=90°， ∵FG∥BC， ∴四邊形CFHB是矩形， ∴BH=5，F(xiàn)H=2；

∵FG∥BC， ∴∠G=45°， ∴HG=BH=5，BG=； ∵PK⊥AG，PG=2， ∴PK=KG=，

∴BK=﹣=4； ∵∠PBQ=45°，∠HGB=45°， ∴∠GBH=45°， ∴∠1=∠2；

∵PK⊥AG，BH⊥FG， ∴∠BHQ=∠BKP=90°， ∴△BQH∽△BPK， ∴，

∴QH= ∴