Question

【題目】已知△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點A在直線DE上，過C點作CF⊥DE于F，過B點作BG⊥DE于G．

（1）發現問題：如圖1，當B、C兩點均在直線DE上方時，線段AG、BG和CF存在的數量關系是　 　．

（2）類比探究：當△ABC繞點A順時針旋轉至圖2的位置時，線段AG、BG和CF之間的數量關系是否會發生變化？如果不變，請說明理由；如果變化，請寫出你的猜想，并給予證明；

（3）拓展延伸：當△ABC繞點A順時針旋轉至圖3的位置時，若CF＝1，AG＝2，請直接寫出△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）AG＝2CF﹣BG，（2）AG＝2CF+B；（3）5

【解析】

（1）過點B作BH⊥CF于點H，先判定四邊形BGFH是矩形，再證△ACF≌△CBH，可得CH＝AF，BH＝CF＝FG，所以AG＝AF+FG，故AG＝AF+CF＝CH+CF＝CF+CF﹣HF＝2CF﹣BG；

（2）思路同上；

（3）過點C作CH⊥BG于H，先判定四邊形BGFH是矩形，再證△ACF≌△BCH，CH＝CF＝GF＝1，AF＝AG+GF＝3，再利用勾股定理可得先判定四邊形BGFH是矩形，AC＝CB=，最后算面積即可.

解：（1）發現問題：

如圖1，過點B作BH⊥CF于點H，

∵BH⊥CF，BG⊥AE，CF⊥AE，

∴四邊形BGFH是矩形，

∴BH＝FG，FH＝BG，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠ACF+∠FCB＝90°，且∠FCB+∠CBH＝90°，

∴∠ACF＝∠CBH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，

∴△ACF≌△CBH（AAS），

∴CH＝AF，BH＝CF＝FG，

∵AG＝AF+FG，

∴AG＝AF+CF＝CH+CF＝CF+CF﹣HF＝2CF﹣BG；

故答案為：AG＝2CF﹣BG，

（2）類比探究：

數量關系發生改變，AG＝2CF+BG

理由如下：

如圖2，過點B作BH⊥CF于H，

∵BH⊥CF，BG⊥AE，CF⊥AE，

∴四邊形BGFH是矩形，

∴BH＝FG，FH＝BG，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠ACF+∠FCB＝90°，且∠FCB+∠CBH＝90°，

∴∠ACF＝∠CBH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，

∴△ACF≌△CBH（AAS），

∴CH＝AF，BH＝CF＝FG，

∴AG＝AF+FG＝CH+BH＝CF+FH+CF＝2CF+BG；

（3）拓展延伸：

如圖3，過點C作CH⊥BG于H，

∵CH⊥BG，BG⊥AE，CF⊥AE，

∴四邊形CHGF是矩形，

∴CH＝FG，CF＝GH，∠FCH＝90°，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝90°＝∠FCH，

∴∠ACF＝∠BCH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，

∴△ACF≌△BCH（AAS），

∴CH＝CF＝GF＝1，

∴AF＝AG+GF＝3，

∴AC＝CB＝＝＝，

∴S△ABC＝×AC×BC＝5．