Question

已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．現給出四個條件：①AC⊥BD；②AC平分對角線BD；③AD∥BC；④∠OAD＝∠ODA，請你以其中的三個條件作為命題的題設，以“四邊形ABCD為菱形”作為命題的結論．
小題1:寫出一個真命題，并證明
小題2:寫出一個假命題，并舉出一個反例說明

Answer 1

小題1:如：若AC⊥BD，AC平分線段BD，AD∥BC，則四邊形ABCD是菱形．
證明：如圖，設AC與BD交于上點O．
∵AC平分BD
∴BO=DO
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO
在△AOD和△COB中，
∵∠ADO=∠CBO， BO="DO" ，∠AOD=∠COB  ，
∴△AOD≌△COB（ASA）
∴AO=CO
∴四邊形ABCD是平行四邊形
又∵AC⊥BD
∴四邊形ABCD是菱形；
小題2:如：若AC平分BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，則四邊形ABCD是菱形．
反例：如圖，四邊形ABCD為矩形．

（1）結合題中條件，從對角線上考慮：①AC⊥BD；②AC平分對角線BD，只要再說明AO與CO相等就可以了，利用③AD∥BC證明三角形全等就可以得到；
（2）利用條件說明是矩形，所以是菱形是假命題．