Question

如圖①，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°
，則有結論EF＝BE＋FD成立；                                                                                                  小題1:如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF是∠BAD的一半，那么結論EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
小題2:若將（1）中的條件改為：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延長BC到點E，延長CD到點F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，則結論EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明.

Answer 1

小題1:結論EF= BE＋FD成立.
延長EB到G，使BG=DF，連接AG.

∵∠ABG＝∠D＝90°, AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF.
∴AG＝AF且∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF．
即EF=BE+BG=BE＋FD．
小題1:結論EF=BE＋FD不成立，應當是EF=BE－FD．
在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．

應當是EF=BE－FD．
在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF.∴AG＝AF．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF
即EF=BE－BG=BE－FD．

小題1:結論仍然成立．延長CB到G，使BG=FD，根據已知條件容易證明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=∠BAD，所以得到∠DAF+∠BAE=∠EAF，進一步得到∠EAF=∠GAE，現在可以證明△AEF≌△AEG，然后根據全等三角形的性質就可以證明結論成立；
小題1:結論不成立，應為EF=BE-DF，如圖在CB上截取BG=FD，由于∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，可以得到∠B=∠ADF，再利用已知條件可以證明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=∠BAD，所以得到∠EAF=∠GAE，現在可以證明△AEF≌△AEG，再根據全等三角形的性質就可以證明EF=EG=EB-BG=EB-DF．