Question

【題目】給出下列定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.

（1）如圖1，四邊形中，點，，，分別為邊、、、的中點，則中點四邊形形狀是_______________.

（2）如圖2，點是四邊形內一點，且滿足，，，點，，，分別為邊、、、的中點，求證：中點四邊形是正方形.

Answer 1

【答案】(1) 平行四邊形;(2)見解析

【解析】

（1）如圖1中，連接BD，根據三角形中位線定理只要證明EH∥FG，EH=FG即可．

（2）首先證明四邊形EFGH是菱形．再證明∠EHG=90°．利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據平行線的性質即可證明．

（1）證明：如圖1中，連接BD．

∵點E，H分別為邊AB，DA的中點，

∴EH∥BD，EH=BD，

∵點F，G分別為邊BC，CD的中點，

∴FG∥BD，FG=BD，

∴EH∥FG，EH=GF，

∴中點四邊形EFGH是平行四邊形．

故答案為平行四邊形；

（2）證明：如圖2中，連接，.

∵，∴即，

在和中，

，

∴，

∴

∵點，，分別為邊，，的中點，

∴，，

由（1）可知，四邊形是平行四邊形，

∴四邊形是菱形.

如圖設與交于點.與交于點，與交于點.

∵，

∴，

∵，

∴

∵，，

∴，

∵四邊形是菱形，

∴四邊形是正方形.