Question

【題目】經過點A（4，1）的直線與反比例函數y＝的圖象交于點A、C，AB⊥y軸，垂足為B，連接BC．

（1）求反比例函數的表達式；

（2）若△ABC的面積為6，求直線AC的函數表達式；

（3）在（2）的條件下，點P在雙曲線位于第一象限的圖象上，若∠PAC＝90°，則點P的坐標是　 　．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數的表達式為y＝（2）直線AC的函數表達式為y＝x﹣1；（3）（，8）．

【解析】

（1）將點A坐標代入反比例函數表達式中，即可得出結論；
（2）先求出AB，設出點C的縱坐標，利用△ABC的面積為6，求出點C縱坐標，再代入反比例函數表達式中，求出點C坐標，最后用待定系數法求出直線AC的解析式；
（3）先求出直線AP的解析式，再和反比例函數解析式聯立求解即可得出結論．

解：（1）∵點A（4，1）在反比例函數y＝ 的圖象上，

∴k＝4×1＝4，

∴反比例函數的表達式為y＝；

（2）設點C的縱坐標為m，

∵AB⊥y軸，A（4，1），

∴AB＝4，

∵△ABC的面積為6，

∴AB×（1﹣m）＝6，

∴m＝﹣2，

由（1）知，反比例函數的表達式為y＝，

∴點C的縱坐標為：﹣2，

∴點C（﹣2，﹣2），

設直線AC的解析式為y＝k'x+b，

將點A（4，1），C（﹣2，﹣2）代入y＝k'x+b中， ，

∴ ，

∴直線AC的函數表達式為y＝x﹣1；

（3）由（2）知直線AC的函數表達式為y＝x﹣1，

∵∠PAC＝90°，

∴AC⊥AP，

∴設直線AP的解析式為y＝﹣2x+b'，

將A（4，1）代入y＝﹣2x+b'中，﹣8+b'＝1，

∴b'＝9，

∴直線AP的解析式為y＝﹣2x+9①，

由（1）知，反比例函數的表達式為y＝②，

聯立①②解得， （舍）或 ，

∴點P的坐標為（，8），

故答案為：（，8）．