Question

9．在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別是（0，4）、（-1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′OC′．
（1）如拋物線經過點C、A、A′，求此拋物線的解析式；
（2）在（1）情況下，點M是第一象限內拋物線上的一動點，問：當點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標；
（3）在（1）的情況下，若P為拋物線上一動點，N為x軸上的一動點，點Q坐標為（1，0），當P、N、B、Q構成以BQ作為一邊的平行四邊形時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′OC′，且點A的坐標是（0，4），可求得點A′的坐標，然后利用待定系數法即可求得經過點C、A、A′的拋物線的解析式；
（2）首先連接AA′，設直線AA′的解析式為：y=kx+b，利用待定系數法即可求得直線AA′的解析式，再設點M的坐標為：（x，-x²+3x+4），繼而可得△AMA′的面積，繼而求得答案；
（3）分別從BQ為邊與BQ為對角線去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′OC′，且點A的坐標是（0，4），
∴點A′的坐標為：（4，0），
∵點A、C的坐標分別是（0，4）、（-1，0），拋物線經過點C、A、A′，
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=4}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴此拋物線的解析式為：y=-x²+3x+4；

（2）連接AA′，設直線AA′的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AA′的解析式為：y=-x+4，
設點M的坐標為：（x，-x²+3x+4），
則S_△AMA′=$\frac{1}{2}$×4×[-x²+3x+4-（-x+4）]=-2x²+8x=-2（x-2）²+8，
∴當x=2時，△AMA′的面積最大，最大值S_△AMA′=8，
∴M的坐標為：（2，6）；

（3）設點P的坐標為（x，-x²+3x+4），當P，N，B，Q構成平行四邊形時，
∵平行四邊形ABOC中，點A、C的坐標分別是（0，4）、（-1，0），
∴點B的坐標為（1，4），
∵點Q坐標為（1，0），P為拋物線上一動點，N為x軸上的一動點，
①當BQ為邊時，PN∥BQ，PN=BQ，
∵BQ=4，
∴-x²+3x+4=±4，
當-x²+3x+4=4時，解得：x₁=0，x₂=3，
∴P₁（0，4），P₂（3，4）；
當-x²+3x+4=-4時，解得：x₃=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，x₄=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，
∴P₃（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-4），P₄（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-4）；
②當BQ為對角線時，BP∥QN，BP=QN，此時P與P₁，P₂重合；
綜上可得：點P的坐標為：P₁（0，4），P₂（3，4），P₃（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-4），P₄（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-4）；

點評 此題屬于二次函數的綜合題，考查了待定系數法求函數解析式的知識、平行四邊形的性質以及三角形面積問題．掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．