Question

【題目】如圖，∠AOB＝20°，點M、N分別是邊OA、OB上的定點，點P，Q分別是邊OB、OA上的動點，記∠MPQ＝α，∠PQN＝β，當MP＋PQ＋QN最小時，則β－α的值為（ ）

A.19°B.40°C.9°D.29

Answer 1

【答案】B

【解析】

作M關于OB的對稱點M′，作N關于OA的對稱點N′，連接M′N′，交OA于點Q，交OB于點P，則MP+PQ+QN最小，根據軸對稱的性質以及平角的定義可得∠OPM=(180°-α)，再根據三角形外角的性質可得∠1=110°-α，同樣根據平角的定義可得∠3=(180°-β)，由對頂角性質可得∠MQP=(180°-β)，根據三角形內角和定理可得∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，即110°-α+α+(180°-β)=180°，整理即可求得答案.

如圖，作M關于OB的對稱點M′，作N關于OA的對稱點N′，連接M′N′，交OA于點Q，交OB于點P，則MP+PQ+QN最小，

∵∠MPM′+∠MPQ=180°，∠OPM=∠OPM′，∠OPM+∠OPM′=∠MPM，∠MPQ=α，

∴∠OPM=(180°-α)，

∵∠1=∠O+∠OPM，

∴∠1=20°+(180°-α)=110°-α，

∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠MQN=180°，∠PQN=β，

∴∠3=(180°-β)，

∴∠MQP=∠3=(180°-β)，

在△PMQ中，∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，

即110°-α+α+(180°-β)=180°，

∴β-α=40°，

故選B.