Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，CE⊥AD，交AD的延長線于點E．

（1）求證：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD，

∵CD是⊙O切線，

∴∠ODC=90°，

即∠ODB+∠BDC=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

即∠ODB+∠ADO=90°，

∴∠BDC=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠A，

∴∠BDC=∠A；

（2）

解：∵CE⊥AE，

∴∠E=∠ADB=90°，

∴DB∥EC，

∴∠DCE=∠BDC，

∵∠BDC=∠A，

∴∠A=∠DCE，

∵∠E=∠E，

∴△AEC∽△CED，

∴ ，

∴EC2=DEAE，

∴16=2（2+AD），

∴AD=6．

【解析】本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．（1）連接OD，由CD是⊙O切線，得到∠ODC=90°，根據AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，等量代換得到∠BDC=∠ADO，根據等腰直角三角形的性質得到∠ADO=∠A，即可得到結論；（2）根據垂直的定義得到∠E=∠ADB=90°，根據平行線的性質得到∠DCE=∠BDC，根據相似三角形的性質得到 ，解方程即可得到結論．