Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+6x與x軸交于O、A兩點，點P在拋物線上，過點P的直線y=x+m與拋物線的對稱軸交于點Q．

（1）這條拋物線的對稱軸是：直線　 　，直線PQ與x軸所夾銳角的度數是　 　度；

（2）若S△POQ：S△PAQ=1：2，求此時的點P坐標；

（3）如圖2，點M（1，5）在拋物線上，以點M為直角頂點作Rt△MEF，且E、F均在拋物線上，則所有滿足條件的直線EF必然經過定點N，求點N坐標．

Answer 1

【答案】（1）x=3，45（2）（2，8）或（3，9）（3）直線EF過定點N（5，4）

【解析】

（1）根據拋物線的對稱軸公式計算即可，根據直線y=x+m與直線y=x平行可得結論．

（2）如圖1中，作直線y=x交對稱軸于H，連接AH，延長AH交直線PQ于M，作ON⊥PQ于N則四邊形ONMH是矩形．△AOH是等腰直角三角形．由S△POQ：S△PAQ=1：2，推出AM=2ON，ON=MH=AH，由點A（6，0），H（3，3），推出點M（0，6），再求出直線PQ，利用方程組即可解決問題．

（3）如圖2中，過點M作GH∥OA，過點E作EG⊥GH于G，過點F作FH⊥GH于H．由△EMG∽△MFH，得=，設E（x1，y1）、F（x2，y2），直線EF的解析式為y=mx+n，得=，由y1=﹣x12+6x1，y2=﹣x22+6x2代入上式整理得到x1x2﹣5（x1+x2）+26=0，列出方程組，利用根與系數關系求出m、n的關系即可解決問題．

（1）拋物線y=﹣x2+6x的對稱軸x=﹣=3．

∵直線PQ：y=x+m與直線y=x平行，直線y=x是一、三象限的平分線，∴直線PQ與x軸所夾銳角的度數是45°．

故答案為：x=3，45．

（2）如圖1中，作直線y=x交對稱軸于H，連接AH，延長AH交直線PQ于M，作ON⊥PQ于N則四邊形ONMH是矩形．△AOH是等腰直角三角形．

∵S△POQ：S△PAQ=1：2，∴AM=2ON，∴ON=MH=AH．

∵點A（6，0），H（3，3），∴點M（0，6），∴直線PQ的解析式為y=x+6，由，解得：或，∴點P坐標（2，8）或（3，9）．

（3）如圖2中，過點M作GH∥OA，過點E作EG⊥GH于G，過點F作FH⊥GH于H．

∵∠EMF=90°，∴∠EMG+∠FMH=90°．

∵∠FMH+∠MFH=90°，∴∠EMG=∠MFH．

∵∠G=∠H=90°，∴△EMG∽△MFH，∴=．

設E（x1，y1）、F（x2，y2），直線EF的解析式為y=mx+n．

∵EM⊥MF，∴=．

∵y1=﹣x12+6x1，y2=﹣x22+6x2代入上式整理得到x1x2﹣5（x1+x2）+26=0

由消去y得到：x2+（m﹣6）x+n=0，∴x1+x2=6﹣m，x1x2=n，∴n﹣5（6﹣m）+26=0，∴n=4﹣5m，∴直線EF解析式為y=mx+4﹣5m=（x﹣5）m+4，當x=5時，y=4，∴直線EF過定點N（5，4）．