Question

【題目】（問題提出）

如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍.

（1）（問題解決）

解決此問題可以用如下方法：延長到點使，再連接（或將繞著點逆時針旋轉得到），把、、集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷，由此得出中線的取值范圍.

（2）（應用）

如圖②，在中，為的中點，已知，，，求的長.

（3）（拓展）

如圖③，在中，，點是邊的中點，點在邊上，過點作交邊于點，連接。已知，，求的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）.

【解析】

（1）延長AD到E，使AD=DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根據三角形的三邊關系求出即可；

（2）同（1）可證△ADC≌△EDB，可得△ABE的三邊長，利用勾股定理的逆定理得出△ABE為直角三角形，然后在Rt△BED中利用勾股定理求出BD的長，進而得出BC的長；

（3）延長ED到點G，使DG=ED，連接CG，FG．由△EBD≌△GCD可得∠B=∠GCD、BE=CG=4，根據∠A=90°知∠GCF=90°，利用勾股定理求得FG的長，最后由中垂線性質即可得EF=FG．

（1）解：延長AD到E，使AD=DE，連接BE，

∵AD是△ABC的中線，

∴BD=CD，

在△ADC與△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴EB=AC，

根據三角形的三邊關系得：AB-AC＜AE＜AC+AB，

∴2＜AE＜10，

∵AE=2AD，

∴,1＜AD＜5，

即：BC邊上的中線AD的取值范圍1＜AD＜5；

（2）

延長AD至E，使DE=AD，連接BE．

∵點D為邊BC的中點，

∴BD=CD.

∵∠BDE=∠ADC,

∴△ADC≌△EDB.

∴BE=AC=3,DE=AD=2.

∴AE=4.

∵AB=5，且,

∴.

∴△ABE為直角三角形，∠AEB=90°.

∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，

∴BD=，

∴BC=2BD=；

（3）

延長ED到點G，使DG=ED，連接CG，FG．

同前法可得△EBD≌△GCD，

∴∠B=∠GCD，BE=CG=4，

又∵∠A=90°，

∴∠B+∠BCA=90°，

∴∠GCD+∠BCA=90°，即∠GCF=90°，

∵CG=4，CF=5，

∴FG===．

∴EF= FG =.