Question

【題目】背景知識：如圖，在中，，若，則：．

（1）解決問題：

如圖（1），，，是過點的直線，過點作于點，連接，現嘗試探究線段、、 之間的數量關系：過點作，與交于點，易發現圖中出現了一對全等三角形，即，由此可得線段、、之間的數量關系是： ；

（2）類比探究：

將圖（1）中的繞點旋轉到圖（2）的位置，其它條件不變，試探究線段、、之間的數量關系，并證明；

（3）拓展應用：

將圖（1）中的繞點旋轉到圖 （3）的位置，其它條件不變，若，，則的長為 （直接寫結果）．

Answer 1

【答案】（1）△EAC≌△BDC；BD+BA=；（2）BDBA=，證明見解析；（3）4.

【解析】

（1）利用ASA證明出△EAC≌△BDC，從而得出AE=BD，EB=AE+AB=BD+AB，根據進一步得出答案即可；

（2）過C作EC⊥CB交MN于E，利用ASA證明△ACE≌△DCB，進而求得線段之間的關系，進一步求證即可；

（3）過C作EC⊥CB于MN于E，利用ASA證明△ACE≌△DCB，然后進一步即可求出AB的長.

（1）∵，

∴∠ACE+∠ACB=90°，

∵，

∴∠BCD+∠ACB=90°

∴∠ACE=∠BCD，

在四邊形ACDB中，

∵，，

∴∠CAB+∠D=180°，

∵∠CAB+∠EAC=180°

∴∠D=∠EAC，

在△EAC與△BDC中，

∵∠EAC=∠D，AC=DC，∠ACE=∠DCB，

∴△EAC≌△BDC(ASA)，

∴AE=BD，EC=BC，

∴EB=AE+AB=BD+AB，

在Rt△ECB中，

∵EC=BC，

∴，

∴BD+BA=，

故答案為：△EAC≌△BDC；BD+AB=；

（2）BDBA=，

證明：

如圖（2），過C作EC⊥CB交MN于E，則∠ECB=90°，

∴∠ECB+∠BCA=∠ACD+∠BCA,

∴∠ECA=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠ABD=∠ACD=90°，

記AC與BD的交點為F，則∠BFA=∠DFC，

∴∠BAF=∠FDC，

在△ACE與△DCB中，

∵∠BAF=∠FDC，AC=DC，∠ECA=∠BCD，

∴△ACE≌△DCB(ASA)，

∴AE=BD，CE=CB，

∴在Rt△BCE中，BE=，

∴BD=AE=BA+BE=BA+,

即：BDBA=；

（3）

如圖（3）過C作EC⊥CB于MN于E，MN與CD相交于F，

∵∠ACD=∠ACF=90°，∠ECB=90°，

∴∠ACB+∠BCF=∠BCF+∠ECF，

∴∠ACB=∠ECF，

∴∠ACB+90°=∠ECF+90°，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°∠AFC，∠D=90°∠BFD，

∵∠AFC=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

在△ACE與△DCB中，

∵∠ACE=∠BCD，AC=DC，∠CAE=∠D，

∴△ACE≌△DCB(ASA)，

∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB為等腰直角三角形，

∴BE=，

又∵BE=ABAE=ABBD,

∴ABBD=，

∵BD=2，BC=，

∴AB=4.