Question

（2013•橋西區模擬）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一個圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉，且直線CE，CF分別與直線AB交于點M，N．
（1）當扇形CEF繞點C在∠ACB的內部旋轉時，如圖①，求證：MN²=AM²+BN²；
思路點撥：考慮MN²=AM²+BN²符合勾股定理的形式，需轉化為在直角三角形中解決．可將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，只需證DN=BN，∠MDN=90°就可以了．
請你完成證明過程：
（2）當扇形CEF繞點C旋轉至圖②的位置時，關系式MN²=AM²+BN²是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，證明△CDN≌△CBN，再利用勾股定理求出即可；
（2）將△ACM沿直線CE對折，得△GCM，連GN，證明△CGN≌△CBN，進而利用勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：
將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，
則△DCM≌△ACM．
有CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A．
又由CA=CB，得 CD=CB．  
由∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM，
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM=90°-45°-∠ACM，
得∠DCN=∠BCN． 
又CN=CN，
∴△CDN≌△CBN．    
∴DN=BN，∠CDN=∠B．
∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．
∴在Rt△MDN中，由勾股定理，
得MN²=DM²+DN²．即MN²=AM²+BN²． 

（2）關系式MN²=AM²+BN²仍然成立．  
證明：
將△ACM沿直線CE對折，得△GCM，連GN，
則△GCM≌△ACM． 
有CG=CA，GM=AM，
∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM．
又由CA=CB，得 CG=CB．
由∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°，
∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-（∠ECF-∠ACM）=45°+∠ACM．
得∠GCN=∠BCN．   
又CN=CN，
∴△CGN≌△CBN．
有GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°，
∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°．
∴在Rt△MGN中，由勾股定理，
得MN²=GM²+GN²．即MN²=AM²+BN²．

點評：此題主要考查了勾股定理以及全等三角形的證明，根據已知作出正確的輔助線是解題關鍵．