Question

【題目】如圖所示，已知AB是圓O的直徑，圓O過BC的中點D，且DE⊥AC．

（1）求證：DE是圓O的切線；
（2）若∠C=30°，CD=10cm，求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵D是BC的中點，O為AB的中點，

∴OD∥AC．

又∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD為半徑，

∴DE是圓O的切線．

（2）解：連接AD；

∵AB是圓O的直徑，

∴∠ADB=90°=∠ADC，

∴△ADC是直角三角形．

∵∠C=30°，CD=10，

∴AD= ．

∵OD∥AC，OD=OB，

∴∠B=30°，

∴△OAD是等邊三角形，

∴OD=AD= ，

∴圓O的半徑為 cm．

【解析】（1）連接OD，根據三角形的中位線定理可得OD∥AC．再根據平行線的性質就可證明DE是圓O的切線；（2）利用30°這個特殊角度，求出AD的長，由兩直線平行同位角相等，可得∠B=30°，進而判斷出△OAD是等邊三角形，得到圓O的半徑.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等邊三角形的性質和圓周角定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．