Question

【題目】如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，∠ABD與∠C互補．

（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若AB=5，AC=9，則AE=_________.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）首先證明Rt△BED≌Rt△CED，根據全等三角形的對應邊相等證明DE=DF，即可證得AD是∠BAC的平分線；

（2）根據全等三角形的性質得到AF=AE，BE=CF，根據AE=AC-CF=AB+BE，得到BE=2，于是得到結論.

解：（1）證明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠E=∠DFC=90°，

∵∠ABD與∠C互補

∴∠ABD+∠C=180°

∵∠ABD+∠DBE=180°

∴∠DBE=∠C

∵BD=CD

∴△BDE≌△CDF(AAS)

∴DE=DF，即AD平分∠BAC；

（2）解：在△ADE與△ADF中，∠DAE=∠DAF，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，

∴AF=AE，

∵Rt△BED≌Rt△CFD，

∴BE=CF，∴AE=AC-CF=AB+BE，

∴BE=2，

∴AE=AB+BE=7.

故答案為：7.