Question

【題目】如圖，已知⊙O是以BC為直徑的△ABC的外接圓，OP∥AC，且與BC的垂線交于點P，OP交AB于點D，BC、PA的延長線交于點E．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若sinE= ，PA=6，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA，如圖，

∵AC∥OP，

∴∠ACO=∠POB，∠CAO=∠POA，

又∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠POA=∠POB，

在△PAO和△PBO中，

，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO=∠PBO，

又∵PB⊥BC，

∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，

∴OA⊥PE，

∴PA是⊙O的切線

（2）解：∵△PAO≌△PBO，

∴PB=PA=6，

在Rt△PBE中，∵sinE= =

∴ = ，解得PE=10，

∴AE=PE﹣PA=4，

在Rt△AOE中，sinE= = ，

設OA=3t，則OE=5t，

∴AE= =4t，

∴4t=4，解得t=1，

∴OA=3，

在Rt△PBO中，∵OB=3，PB=6，

∴OP= =3 ，

∵AC∥OP，

∴△EAC∽△EPO，

∴ = ，即 = ，

∴AC= ．

【解析】（1）先利用平行線的性質得到∠ACO=∠POB，∠CAO=∠POA，加上∠ACO=∠CAO，則∠POA=∠POB，于是可根據“SAS”判斷△PAO≌△PBO，則∠PAO=∠PBO=90°，然后根據切線的判定定理即可得到PA是⊙O的切線；（2）先由△PAO≌△PBO得PB=PA=6，在Rt△PBE中，利用正弦的定義可計算PE=10，則AE=PE﹣PA=4，再在Rt△AOE中，由sinE= = ，可設OA=3t，則OE=5t，由勾股定理得到AE=4t，則4t=4，解得t=1，所以OA=3；接著在Rt△PBO中利用勾股定理計算出OP=3 ，然后證明△EAC∽△EPO，再利用相似比可計算出AC．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的判定定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．