Question

【題目】如圖，已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AC上不與A、C重合的一動點，PQ⊥BC于Q，QR⊥AB于R．

（1）求證：PQ=CQ；

（2）設CP的長為x，QR的長為y，求y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍，并在平面直角坐標系作出函數圖象．

（3）PR能否平行于BC？如果能，試求出x的值；若不能，請簡述理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）y=﹣x+（0＜x＜1）；（3）PR不能平行于BC．

【解析】試題分析：（1）根據題意易得△ABC是等腰直角三角形，則∠B=∠C=45°，然后利用PQ⊥CQ可得到△PCQ為等腰直角三角形，由此得證；

（2）根據等腰直角三角形的性質求出BC=AB=，CQ=PC=x，同理可證得△BQR是等腰直角三角形，則BQ=RQ=y，所以可得y+x=，變形可求出解析式，然后描點畫圖即可；

（3）由AR=1–y，AP=1–x，則AR=1–（–x+1），當AR=AP時，PR∥BC，所以1–（–x+1）=1–x，解得x=，然后利用0<x<1可判斷.

試題解析：（1）∵∠A=90°，AB=AC=1，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=45°，

∵PQ⊥CQ，

∴△PCQ為等腰直角三角形，

∴PQ=CQ；

（2）解：∵△ABC為等腰直角三角形，

∴BC=AB=，

∵△PCQ為等腰直角三角形，

∴CQ=PC=x，

同理可證得為△BQR等腰直角三角形，

∴BQ=RQ=y，

∵BQ+CQ=BC，

∴y+x=，

∴y=–x+1（0<x<1），

如圖，

（3）能．

理由如下：

∵AR=1–y，AP=1–x，

∴AR=1–（–x+1），

當AR=AP時，PR∥BC，

即1–（–x+1）=1–x，

解得x=，

∵0<x<1，∴PR能平行于BC．